ثابت کنید هر عددی بشکل $4a^4+b^4$ به ازای $a, b \in \mathbb{N}$ و $b > 1$ همیشه مرکب است.

Question

با درود به همراهان گرامی. ثابت کنید هر عددی به‌شکل $4a^4+b^4$ به ازای $a, b \in \mathbb{N}$ و $b > 1$، همیشه مرکب است. دقت کنید بسیار ساده است و به‌عنوان تمرین برای دبیرستانی‌ها مناسب است.

Answer 1

$4a^4+b^4=\ (2a^2)^2+(b^2)^2$

$=(2a^2+b^2)^2-2(2a^2\cdot b^2)$

$=(2a^2+b^2)^2-(2ab)^2$

$=(2a^2+b^2+2ab)(2a^2+b^2-2ab)$

و چون $a,b \in \Bbb N$ و $b > 1$ هر دو عامل عبارت بالا بزرگتر از $1$ و صحیح هستند، پس $4a^4+b^4$ عددی مرکب است.