یک روش که بارها در همین سایت برای پاسخ دادن به پرسش‌های گوناگونی اشاره کردم این است که یک دستگاه چندجمله‌ای بسازید و سپس آن را حل کنید، برای نمونه با پایه‌های گروبنر. برای پرسش شما، چهار متغیرِ $a$ و $b$ و $c$ و $d$ دارید که می‌خواهید تنها از مقدارهای ۰ و ۱ و ... و ۹ گزینش شوند، پس به ازای هر یک از این متغیرها یک برابریِ چندجمله‌ایِ $\prod_{i=0}^9(x-i)=0$ دارید. روشن است که این برابری دقیقا ۱۰ پاسخ دارد که رقم‌های ۰ تا ۹ هستند. زمانی که چهار برابری را با هم بخواهید صفر کنید یعنی چهار متغیرتان یک چهارتایی مرتب از مجموعهٔ $\lbrace 0,\dots,9\rbrace^4$ می‌تواند باشد (یک چهارتایی که هر چهار عضوش باید از این رقم‌ها باشند). اکنون یک شرط بیشتر هم دارید پس باید یک برابریِ چندجمله‌ایِ دیگر بیفزائيد که یک دستگاه پنج برابری با چهار مجهول می‌سازد. برابریِ آخر به شکل زیر است.
$$1000a+100b+10c+d-a^2b^2-2(10c+d)^2=0$$
اکنون این دستگاه را حل می‌کنیم. یک روش کمک گرفتن از پایه‌های گروبنر است، پایهٔ گروبنرِ ایده‌آل تولیدشده بوسیلهٔ این ۵ چندجمله‌ای با ترتیبِ واژه‌نامه‌ای با $a< b< c< d$ برابر با مجموعهٔ زیر می‌شود.
$$\lbrace d^2-4d,\;2c-d,\;b-d,\;4a-7d\rbrace$$
همینطور که می‌بینید، نخستین چندجمله‌ای تک‌متغیره با فقط یک مجهولِ $d$ است، سپس یک چندجمله‌ای با دو متغیر $d$ و $c$. مقدارهای ممکن برای $d$ از برابر با صفر گذاشتن چندجمله‌ایِ نخست بدست می‌آیند، مقدارهای ممکن برای $c$ با جایگذاریِ نامزدهای $d$ در چندجمله‌ای دوم و سپس برابر با صفر قرار دادن و حل آن و همین طور برای سایر متغیرها ادامه می‌دهیم. $d^2-4d=0$ به ما دو مقدار $d=0$ و $d=4$ را می‌دهد. سپس $2c-d=0$ به ما مقدارهای $(c,d)=(0,0)$ و $(d,c)=(2,4)$ و اگر تا انتها پیش رویم به دو پاسخِ زیر می‌رسیم.
$$(a,b,c,d)=(0,0,0,0),\;(a,b,c,d)=(7,4,2,4)$$
که مقدار دوم همان مقداری است که خودتان هم یافته بودید. روش بالا نشان می‌دهد که به جز مقدار خودتان و مقدارِ بدیهیِ ۰، پاسخ دیگری موجود نیست.
و اما چند نمونه پست‌هایی که با روش مشابه حل شده‌بودند.
- https://math.irancircle.com/26304/#a26305
- https://math.irancircle.com/19563/#a19837
- https://math.irancircle.com/10368/#a10369
- https://math.irancircle.com/13010/#a13015
