نامساوی نرم ماتریسی زیر را ثابت کنید

Question

نامساوی $ \parallel A \parallel _{2} \leq \sqrt{ \parallel A \parallel _{1}* \parallel A \parallel _{ \infty } } $ راثابت کنید .

Answer 1

ابتدا نشان میدهیم که $ \rho (A) \leq \parallel A \parallel $

$Ax= \lambda x \rightarrow \parallel Ax \parallel = \mid \lambda \mid \parallel x \parallel * $

از طرفی میدانیم همواره

$ \parallel Ax \parallel _p \leq \parallel A \parallel _p \parallel x \parallel _p **$

پس با $*$ و $**$ داریم:

$ \rho (A)= \mid \lambda \mid \leq \parallel A \parallel $

حال در ادامه نشان میدهیم که $ \parallel A^H \parallel _ \infty = \| A \| _1$ که اثبات آنرا میتوانید در اینجا ببینید.

حال به کمک دو نکته بالا به اثبات سوال میپردازیم:

$ \| A \| _2^2= \rho (A^HA) \leq \parallel A^HA \parallel \leq \parallel A^H \parallel \parallel A \parallel \leq \parallel A \parallel _1 \parallel A \parallel _ \infty $