Question

آیا فاکتورگیری همان عمل ضرب هست؟ خب ما وقتی عبارت جمع روبرو رو داشته باشیم3+3+3 این رو بصورت ضرب می‌توانیم بنویسیم که بصورت حاصل ضرب 3×3 نوشته می‌شود ولی مثلا 1+2+3 نمی‌توانیم بصورت ضرب بنویسیم چون جمله ها هیچ چیز مشترکی ندارند،ولی مثلا عبارت 6+12+18 می‌بینیم که جمله های همگی مضرب عدد 6 هستند و در یک چیز مشترک دارند از طرفی هم بصورت معمول نمی‌توانیم این رو به ضرب تبدیل کنیم و از حالت جمع در بیاریم برای همین از فاکتور گیری استفاده می‌کنیم و عبارت18+12+6 به (1+2+3)6 تبدیل میکنیم که همان 6×6 که می‌شود 36 هست و اگر عبارت بالا هم حساب کنیم می‌شود 36 پس می‌بینیم که این دو عبارت برابر هستند پس از مفهوم ضرب استفاده کردیم و جمع رو به ضرب تبدیل کردیم درواقع از همان فاکتور گیری استفاده کردیم،حالا با این تعاریف می‌توان گفت فاکتور گیری همان عمل ضرب هست؟

Answer 1

توضیحاتتان درسته اما نتیجه گیریتان ضعیف است.

در واقع فاکتوری (در حالت کلی تجزیه ) تبدیل جمع و تفریق به ضرب است:

$6-3+15=3(2-1+5)=3 \times 6$

$xa+xb+ya+yb=x(a+b)+y(a+b)=(x+y)(a+b)$

$ \Box $

Answer 2

درواقع از خاصیت پخشی ضرب روی جمع استفاده شده است(استفاده از واژه جمع درصورتی است که تفریق ها قرینه شده جمع برشماریم) خاصیت پخشی به ما میگوید: a(b+c+d)=(ab)+(ac)+(ad)=ab+ac+ad

Answer 3

نکات خوبی را مطرح کردید و در درک ارتباط بین ضرب و فاکتورگیری بسیار دقیق بوده‌اید. اجازه دهید کمی بیشتر این موضوع را باز کنیم.

بله، در ذات خود، فاکتورگیری فرایند معکوس ضرب است. شما کاملاً درست می‌فرمایید که وقتی عبارتی مانند 3 + 3 + 3 را داریم، می‌توانیم آن را به شکل ضرب (3 × 3) بنویسیم. این به این دلیل است که جمع اعداد یکسان را می‌توان به ضرب تبدیل کرد.

اما، همانطور که اشاره کردید، فاکتورگیری زمانی کاربرد بیشتری پیدا می‌کند که با مجموعه‌ای از اعداد یا عبارات روبرو هستیم که یک عامل مشترک دارند. در مثال شما، 6 + 12 + 18، هر سه عدد مضربی از 6 هستند. فاکتورگیری در اینجا به ما کمک می‌کند این عامل مشترک (6) را شناسایی و جدا کنیم.

با استفاده از فاکتورگیری، در واقع داریم فرآیند ضرب را به عقب برمی‌گردانیم. وقتی می‌گوییم 6 × (1 + 2 + 3)، یعنی عدد 6 را در هر یک از اعداد داخل پرانتز ضرب کرده‌ایم (6 × 1 + 6 × 2 + 6 × 3) که نتیجه آن همان 6 + 12 + 18 می‌شود.

پس، می‌توان گفت که فاکتورگیری شناسایی و استخراج عامل مشترکی است که در فرآیند ضرب برای رسیدن به یک عبارت جمع استفاده شده است.

تفاوت ظریف اما مهم:

• ضرب: دو یا چند عامل را با هم ترکیب می‌کنیم تا یک حاصل ضرب به دست آوریم.
• فاکتورگیری: یک عبارت جمع یا یک عدد را به عوامل تشکیل دهنده آن تجزیه می‌کنیم.

به زبان ساده‌تر:

• ضرب مثل ساختن یک خانه با آجر است. آجرها (عوامل) را کنار هم می‌گذاریم تا خانه (حاصل ضرب) شکل بگیرد.
• فاکتورگیری مثل خراب کردن یک خانه و جدا کردن آجرهای آن است. از خانه (عبارت جمع) شروع می‌کنیم و به آجرهای تشکیل دهنده آن (عوامل) می‌رسیم.

نتیجه گیری:

با توجه به تعاریفی که ارائه دادید و مثال‌هایی که زدید، می‌توان گفت که فاکتورگیری عمل معکوس ضرب است. هدف هر دو فرآیند مرتبط کردن عوامل و حاصل است، اما در جهت‌های مخالف. ضرب از عوامل به حاصل می‌رسد و فاکتورگیری از حاصل به عوامل.