بنابه فرمول ( تقریب ) استرلینگ داریم:
$n! \approx A(n)=( \frac{n}{e} )^n \sqrt{2 \pi n} \Rightarrow \sqrt[n]{n!} \approx \frac{n}{e} \sqrt[2n]{2 \pi n} $
از طرفی دیگر:
$ \lim_{n\to \infty } \sqrt[2n]{2 \pi n} =1 \Rightarrow \sqrt[n]{n!} \approx \frac{n}{e} $
این استدلال از نظر ریاضی دقیق نیست.
اثبات دقیق:
با توجه به اینکه دنباله $a_n=(1+ \frac{1}{n} )^n$ صعودی و دنباله $b_n=(1+ \frac{1}{n} )^{n+1}$ نزولی است به کمک بسط دو جمله ای می توان نشان داد که:
$ \forall k \in N:(1+ \frac{1}{k} )^k<e<(1+ \frac{1}{k} )^{k+1}$
حالا اگر طرفین نامساویهای بالا را برای $k=1,2,...n-1$ ($n$ به اندازه کافی ) ضرب کنیم داری:
$ \frac{n^{n-1}}{(n-1)!} <e^{n-1}< \frac{n^n}{(n-1)!} $
با ساده کردن این نامساوی داریم:
$en^ne^{-n}<n!<en^{n+1}e^{-n} \Rightarrow \sqrt[n]{e} \frac{n}{e} < \sqrt[n]{n!} < \sqrt[n]{e} \sqrt[n]{n} \frac{n}{e} \Rightarrow \sqrt[n]{e} < \frac{ \sqrt[n]{n!} }{ \frac{n}{e} } < \sqrt[n]{e} \sqrt[n]{n} $
حالا چون $ \lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{n}= \lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{e} =1$ پس داریم:
$ \lim_{n\to \infty } \frac{ \sqrt[n]{n!} }{ \frac{n}{e} } =1 \Rightarrow \sqrt[n]{n!} \approx \frac{n}{e} $
$ \Box $
منبع:کتاب کوچک و ارزشمند تابع گاما نوشته امیل آرتین.
