به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
62 بازدید
در دانشگاه توسط Abibanafsh (1 امتیاز)

توضیحات تصویر

می‌شه بگید چطور اثبات این، به وسیله‌ی اینکه حد نسبت‌شون یک می‌شه، اثبات می‌شه؟

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط قاسم شبرنگ (1,025 امتیاز)
ویرایش شده توسط قاسم شبرنگ

بنابه فرمول ( تقریب ) استرلینگ داریم:

$n! \approx A(n)=( \frac{n}{e} )^n \sqrt{2 \pi n} \Rightarrow \sqrt[n]{n!} \approx \frac{n}{e} \sqrt[2n]{2 \pi n} $

از طرفی دیگر:

$ \lim_{n\to \infty } \sqrt[2n]{2 \pi n} =1 \Rightarrow \sqrt[n]{n!} \approx \frac{n}{e} $

این استدلال از نظر ریاضی دقیق نیست.

اثبات دقیق:

با توجه به اینکه دنباله $a_n=(1+ \frac{1}{n} )^n$ صعودی و دنباله $b_n=(1+ \frac{1}{n} )^{n+1}$ نزولی است به کمک بسط دو جمله ای می توان نشان داد که:

$ \forall k \in N:(1+ \frac{1}{k} )^k< e< (1+ \frac{1}{k} )^{k+1}$

حالا اگر طرفین نامساویهای بالا را برای $k=1,2,...n-1$ ($n$ به اندازه کافی ) ضرب کنیم داری:

$ \frac{n^{n-1}}{(n-1)!} < e^{n-1}< \frac{n^n}{(n-1)!} $

با ساده کردن این نامساوی داریم:

$en^ne^{-n}< n!< en^{n+1}e^{-n} \Rightarrow \sqrt[n]{e} \frac{n}{e} < \sqrt[n]{n!} < \sqrt[n]{e} \sqrt[n]{n} \frac{n}{e} \Rightarrow \sqrt[n]{e} < \frac{ \sqrt[n]{n!} }{ \frac{n}{e} } < \sqrt[n]{e} \sqrt[n]{n} $

حالا چون $ \lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{n}= \lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{e} =1$ پس داریم:

$ \lim_{n\to \infty } \frac{ \sqrt[n]{n!} }{ \frac{n}{e} } =1 \Rightarrow \sqrt[n]{n!} \approx \frac{n}{e} $

$ \Box $

منبع:کتاب کوچک و ارزشمند تابع گاما نوشته امیل آرتین.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...