به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
42 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط mansour (382 امتیاز)
ویرایش شده توسط قاسم شبرنگ

معادله زیر چند ریشه حقیقی دارد:

$$x=1964sinx-189$$ المپیاد ریاضی آلمان

دو تابع زیر را با هم قطع می دهیم:

$$f(x)=1964sinx,g(x)=x+189$$

توسط Vahidi fard (249 امتیاز)
نمی دونم ایده ام درسته یا نه اما تابع فقط در بازه منفی ۱۷۷۵ تا مثبت ۱۷۷۵ میتونه ریشه داشته باشه. از طرفی طبق قضیه مقدار میانی اگر بتونیم ثابت کنیم که اکسترمم های نسبی تابع یکی در میان در این بازه مثبت و منفی میشن اونوقت بین هر دو اکسترمم فقط یک ریشه داریم. چون طبق قضیه مقدار میانگین اگر دو ریشه وجود داشته باشه بین هر دو اکستریم باید نقطه بین دو ریشه وجود داشته باشه که مشتقش بشه صفر یا به عبارتی اکسترمم باشه که با فرض اختلاف داره.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط قاسم شبرنگ (2,373 امتیاز)
ویرایش شده توسط قاسم شبرنگ
 
بهترین پاسخ

از نمودار کمک میگیریم.

تعریف کنید:

$f(x)=x-1964Sinx+185$

و بازه های $[2k \pi ,2k \pi + \frac{ \pi }{2} ]$ و $[2k \pi + \frac{ \pi }{2} ,(2k+1) \pi ]$ را برای $k$ های صحیح غیرمنفی در نظر بگیرید:

$f(2k \pi )=2k \pi +185>0,f(2k \pi + \frac{ \pi }{2})=2k \pi + \frac{ \pi }{2}-1984+185,$

$f((2k+1) \pi )=(2k+1) \pi +185>0$

حالا قضیۀ مقدار میانی را بکار ببرید و توجه کنید که تابع در بازه ها یکنواست.

$2k \pi + \frac{ \pi }{2}-1984+185< 0$

معادله را حل کنید و تعداد $k$ ها را بیابید.برای سمت چپ نمودارها همین ایده را بکار ببرید.

تکمیل ایده و استدلال بر عهدۀ خواننده.

$ \Box $


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...