تعداد ریشه های یک معادله عجیب!

Question

طراحی: معادله $11x+223344x^{11}+\text {log}(1+x)=-2024x^{1403}+1-4 ^{-2023×1402} $ دارای چند ریشه است؟ علامت ریشه های آن را به دست آورید.

Answer 1

دنبال جوابهای حقیقی هستم.پس باید $1+x>0$.حالا تابع زیر را در نظر بگیرید:

$f(x)=2024x^{1403}+223344x^{11}+11x+Log(1+x)$

$f'(x)=2024 \times 1403x^{1402}+11 \times 223344x^{10}+11+ \frac{1}{1+x} >0($همۀ جملات مثبت اند$)$

یعنی تابع در بازۀ $(-1,+ \infty )$ اکیدن صعودی است.

از طرفی دیگر:

$ \lim_{x\to (-1)^+} f(x)=-2024 \times 1403-11- \infty =- \infty $

$, \lim_{x\to + \infty } f(x)=+ \infty + \infty + \infty + \infty =+ \infty $

حالا واضح است که خط $y=1-4^{-2023 \times 1402}$ تابع $f$ را فقط در نقطه ای بالای محور $x$ها قطع می کند.یعنی معادله فقط یک جواب حقیقی دارد و:

$f(0)=0,f(1)=2024+223344+11+Log2>0$

حالا چون تابع پیوسته است و:

$f(0)=0< 1-4^{-2023 \times 1402}< 2024+223344+11+l0g2=f(1)$

پس:

$ \exists a:0< a< 1,f(a)=1-4^{-2023 \times 1402}$

یعنی جواب معدلۀ ما مثبت است.

$ \Box $