به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
62 بازدید
در دانشگاه توسط Abibanafsh (7 امتیاز)

توی یه فضای متریک معمولی ( R)

ایا دنباله ای وجود دارد که مجموعه حدود زیر دنباله ای ان ، همه ی اعداد گویا (Q)باشند ؟دقیقا چطور اثبات میشه؟ جایی خوندم با مفهوم چگال بودن اعداد گویا اثبات میشه ولی چطوری؟ متوجه نشدم جور دیگه ای هم اثبات میشه؟

همین طور برای اعداد حقیقی ایا دنباله ای وجود دارد که مجموعه حدود زیر دنباله ای اون. همه ی اعداد حقیقی( R) باشند ؟

اثبات کاملشون رو میخوام که دقیق متوجه بشم چی شده

2 پاسخ

0 امتیاز
توسط قاسم شبرنگ (3,120 امتیاز)
ویرایش شده توسط قاسم شبرنگ

توجه کنید که اعداد گویا شماراست.فرض کنید که اعداد گویا دنبالۀ $(r_n)_{n=1}^ \infty $ باشد.حالا دنبالۀ زیر را در نظر بگیرید:

$r_1+ \frac{1}{1},r_1+ \frac{1}{2} ,r_1+ \frac{1}{3},...,r_2+ \frac{1}{1},r_2+ \frac{1}{2},r_2+ \frac{1}{3},...$

به سادگی می توان نشان داد همۀ مقادیر حدود زیر دنباله هاش مساوی مجموعۀ اعداد گویاست.البته در این استدلال از چگال بودن اعداد گویا در $R$ استفاده نشده است.

برای قسمت دوم هم بله.دنبالۀ زیر را در نظر بگیرید:

$sin1,sin2,sin3,...2sin1,2sin2,2sin3,...3sin1,3sin2,3sin3,...$

حالا توجه کنید مجموعه حدود دنبالۀ:

$(m.sin(n))_{n=1}^ \infty $

مساوی

$[-m,m]$

است و

$R= \bigcup_{m=1}^ \infty [-m,m]$

$ \Box $

0 امتیاز
توسط

برای سؤال اول، بله، چنین دنباله‌ای وجود دارد. برای ساختن چنین دنباله‌ای، می‌توانیم از مفهوم چگال بودن اعداد گویا در اعداد حقیقی استفاده کنیم. به این معنی که بین هر دو عدد حقیقی، یک عدد گویا وجود دارد. بنابراین، می‌توانیم یک دنباله از اعداد گویا به صورت زیر بسازیم:

$$a_n = \frac{m_n}{2^n}$$

که در آن $m_n$ یک دنباله از اعداد صحیح است که به صورت زیر تعریف می‌شود:

$$m_n = \begin{cases} 0 & \text{if } n=1 \\ 2m_{n-1} & \text{if } a_{n-1} \text{ is not in the interval } (q_n - \epsilon_n, q_n + \epsilon_n) \\ 2m_{n-1} + 1 & \text{if } a_{n-1} \text{ is in the interval } (q_n - \epsilon_n, q_n + \epsilon_n) \end{cases}$$

که در آن $q_n$ یک دنباله از اعداد گویا است که همه اعداد گویا را پوشش می‌دهد و $\epsilon_n$ یک دنباله از اعداد حقیقی مثبت است که به صفر همگرا می‌شود. به این ترتیب، دنباله $a_n$ به همه اعداد گویا همگرا می‌شود و مجموعه حدود زیر دنباله‌ای آن، همه اعداد گویا خواهد بود.

برای سؤال دوم، بله، چنین دنباله‌ای وجود دارد. برای ساختن چنین دنباله‌ای، می‌توانیم از مفهوم چگال بودن اعداد حقیقی در اعداد حقیقی استفاده کنیم. به این معنی که بین هر دو عدد حقیقی، یک عدد حقیقی دیگر وجود دارد. بنابراین، می‌توانیم یک دنباله از اعداد حقیقی به صورت زیر بسازیم:

$$a_n = \begin{cases} 0 & \text{if } n=1 \\ \frac{a_{n-1}}{2} & \text{if } a_{n-1} \text{ is not in the interval } (q_n - \epsilon_n, q_n + \epsilon_n) \\ \frac{a_{n-1}}{2} + \frac{1}{2^n} & \text{if } a_{n-1} \text{ is in the interval } (q_n - \epsilon_n, q_n + \epsilon_n) \end{cases}$$

که در آن $q_n$ یک دنباله از اعداد حقیقی است که همه اعداد حقیقی را پوشش می‌دهد و $\epsilon_n$ یک دنباله از اعداد حقیقی مثبت است که به صفر همگرا می‌شود. به این ترتیب، دنباله $a_n$ به همه اعداد حقیقی همگرا می‌شود و مجموعه حدود زیر دنباله‌ای آن، همه اعداد حقیقی خواهد بود.

اثبات کامل این دو سؤال، نیاز به جزئیات بیشتری دارد. اما ایده اصلی این است که با استفاده از مفهوم چگال بودن اعداد گویا و حقیقی، دنباله‌هایی بسازیم که به همه اعداد گویا و حقیقی همگرا شوند و مجموعه حدود زیر دنباله‌ای آنها، همه اعداد گویا و حقیقی باشد.

توسط قاسم شبرنگ (3,120 امتیاز)
جمله "دنباله an به همه اعداد گویا همگرا می‌شود" را حذف کنید.منطقی نیست.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...