برای سؤال اول، بله، چنین دنباله‌ای وجود دارد. برای ساختن چنین دنباله‌ای، می‌توانیم از مفهوم چگال بودن اعداد گویا در اعداد حقیقی استفاده کنیم. به این معنی که بین هر دو عدد حقیقی، یک عدد گویا وجود دارد. بنابراین، می‌توانیم یک دنباله از اعداد گویا به صورت زیر بسازیم:
$$a_n = \frac{m_n}{2^n}$$
که در آن $m_n$ یک دنباله از اعداد صحیح است که به صورت زیر تعریف می‌شود:
$$m_n = \begin{cases} 0 & \text{if } n=1 \\ 2m_{n-1} & \text{if } a_{n-1} \text{ is not in the interval } (q_n - \epsilon_n, q_n + \epsilon_n) \\ 2m_{n-1} + 1 & \text{if } a_{n-1} \text{ is in the interval } (q_n - \epsilon_n, q_n + \epsilon_n) \end{cases}$$
که در آن $q_n$ یک دنباله از اعداد گویا است که همه اعداد گویا را پوشش می‌دهد و $\epsilon_n$ یک دنباله از اعداد حقیقی مثبت است که به صفر همگرا می‌شود. به این ترتیب، دنباله $a_n$ به همه اعداد گویا همگرا می‌شود و مجموعه حدود زیر دنباله‌ای آن، همه اعداد گویا خواهد بود.
برای سؤال دوم، بله، چنین دنباله‌ای وجود دارد. برای ساختن چنین دنباله‌ای، می‌توانیم از مفهوم چگال بودن اعداد حقیقی در اعداد حقیقی استفاده کنیم. به این معنی که بین هر دو عدد حقیقی، یک عدد حقیقی دیگر وجود دارد. بنابراین، می‌توانیم یک دنباله از اعداد حقیقی به صورت زیر بسازیم:
$$a_n = \begin{cases} 0 & \text{if } n=1 \\ \frac{a_{n-1}}{2} & \text{if } a_{n-1} \text{ is not in the interval } (q_n - \epsilon_n, q_n + \epsilon_n) \\ \frac{a_{n-1}}{2} + \frac{1}{2^n} & \text{if } a_{n-1} \text{ is in the interval } (q_n - \epsilon_n, q_n + \epsilon_n) \end{cases}$$
که در آن $q_n$ یک دنباله از اعداد حقیقی است که همه اعداد حقیقی را پوشش می‌دهد و $\epsilon_n$ یک دنباله از اعداد حقیقی مثبت است که به صفر همگرا می‌شود. به این ترتیب، دنباله $a_n$ به همه اعداد حقیقی همگرا می‌شود و مجموعه حدود زیر دنباله‌ای آن، همه اعداد حقیقی خواهد بود.
اثبات کامل این دو سؤال، نیاز به جزئیات بیشتری دارد. اما ایده اصلی این است که با استفاده از مفهوم چگال بودن اعداد گویا و حقیقی، دنباله‌هایی بسازیم که به همه اعداد گویا و حقیقی همگرا شوند و مجموعه حدود زیر دنباله‌ای آنها، همه اعداد گویا و حقیقی باشد.
