درود بر شما دوست گرامی.
سؤال بسیار جالبی مطرح کردهاید. برای $n > 2$، آیا همیشه بین $n^2$ و $(n+1)^2$ یک عدد نیمهاول (semiprime) فرد غیرمربع وجود دارد؟
ابتدا بگذارید چند مثال کوچک را بررسی کنیم:
برای $n = 3$: بین $9$ و $16$، عدد $15 = 3 \times 5$ یک نیمهاول فرد غیرمربع است.
برای $n = 4$: بین $16$ و $25$، عدد $21 = 3 \times 7$ یک نیمهاول فرد غیرمربع است.
برای $n = 5$: بین $25$ و $36$، اعداد $33 = 3 \times 11$ و $35 = 5 \times 7$ هر دو نیمهاول فرد غیرمربع هستند.
نکته مهم این است که فاصله بین $n^2$ و $(n+1)^2$ برابر $2n+1$ است، یعنی با افزایش $n$، تعداد اعداد موجود در این بازه به صورت خطی افزایش مییابد.
با این حال، اثبات یا رد این حدس نیاز به تکنیکهای پیشرفته نظریه اعداد دارد. این سؤال شبیه به مسائل باز در نظریه اعداد است و تا جایی که میدانم، پاسخ قطعی برای آن وجود ندارد.
برای مقادیر بزرگ $n$، به نظر میرسد که احتمال یافتن چنین عددی بالا باشد، اما اثبات اینکه "همیشه" چنین عددی وجود دارد، نیازمند بررسی دقیقتر است.
