فرض کنید $S(x) = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \max(0, x-k)$ باشد. برای $x \ge 1$، تنها جملاتی که $k \le \lfloor x \rfloor$ باشد در مجموع سهیم هستند، بنابراین با فرض $n=\lfloor x \rfloor$، داریم:
$$ S(x) = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k (x-k) = x \sum_{k=0}^{n} (-1)^k - \sum_{k=0}^{n} (-1)^k k. $$
مجموعهای $A_n = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k$ و $B_n = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k k$ را در نظر بگیرید. آنگاه:
- $A_{2m} = 1, A_{2m+1} = 0$.
- $B_{2m} = m, B_{2m+1} = -m-1$ (با جفتکردن جملات متوالی).
بنابراین، در بازه $[n, n+1)$:
- اگر $n=2m$ زوج باشد، $S(x)=x-m$.
- اگر $n=2m+1$ فرد باشد، $S(x)=m+1$ (مقدار ثابت).
در نتیجه:
$$ \int_{1}^{\infty} \frac{dx}{S(x)^2} = \sum_{m=0}^{\infty} \int_{2m+1}^{2m+2} \frac{dx}{(m+1)^2} + \sum_{m=1}^{\infty} \int_{2m}^{2m+1} \frac{dx}{(x-m)^2}. $$
هر یک از مجموعها را محاسبه میکنیم:
بازههای فرد:
$$ \int_{2m+1}^{2m+2} \frac{dx}{(m+1)^2} = \frac{1}{(m+1)^2}, $$
که حاصل جمع آن برابر است با:
$$ \sum_{m=0}^{\infty} \frac{1}{(m+1)^2} = \sum_{j=1}^{\infty} \frac{1}{j^2} = \frac{\pi^2}{6}. $$
بازههای زوج:
$$ \int_{2m}^{2m+1} \frac{dx}{(x-m)^2} = \left[ -\frac{1}{x-m} \right]_{2m}^{2m+1} = \frac{1}{m} - \frac{1}{m+1}, $$
که یک سری تلسکوپی است و حاصل جمع آن برابر ۱ میشود.
با جمع کردن این دو مقدار:
$$ \int_{1}^{\infty} \left( \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \max(0, x-k) \right)^{-2} dx = \frac{\pi^2}{6} + 1. $$
