Question

مطلوب است اثبات رابطه زیر:

$\lim_{n\to \infty } n^{2} \int _0^ { \frac{1}{n} } x^{2019x+1}dx= \frac{1}{2} $

Comments

جواب صفر است.

---

صورت سوال را درست نوشتید؟

Answer 1

$$ \lim_{n\to \infty } n^2\int_0^ \frac{1}{n}x^{2019x+1}dx= \lim_{n\to \infty } \frac{\int_0^ \frac{1}{n}x^{2019x+1}dx}{ \frac{1}{n^2}}=\lim_{n\to0^+} \frac{\int_0^nx^{2019x+1}dx}{n^2}$$

$$=\lim_{n\to0^+} \frac{n^{2019n+1}}{2n}=\lim_{n\to0^+} \frac{n^{2019n}}{2}= \frac{1}{2}(\lim_{n\to0^+}n^n)^{2019}$$

$$= \frac{1}{2} \times 1^{2019}= \frac{1}{2}$$

$\Box$

Comments

صورت مسئله را اصلاح کردم.

---

جواب اصلاح شد.