نشان دهید $\frac{k[x,y,z,w]}{\langle xz-y^2,xw-yz,yw-z^2\rangle}$ یک $k[x,w]$-مدول آزاد متناهی‌مولد است.

Question

فرض کنید k یک میدان باشد و $I=(yw-z ^{2},xw-yz,xz-y ^{2} ) \subseteq k[x,y,z,w]= : S $ نشان دهید که $R= \frac{S}{I} $ یک مدول آزاد متناهی مولد روی $K[x,w]$ است.

Comments

با سلام,امکانش هست کسی این سوال رو حل کنه.ممنون

---

ابتدا اینکه چرا با شناسهٔ کاربری وارد نشده‌اید برای گذاشتن دیدگاه. سپس اینکه چنین دیدگاهی جالب نیست، این فکر را می‌رساند که شما دنبال یک پاسخ آماده هستید که تحویل بدهید. به جای آن می‌توانستید تلاش و فکرتان برای حل آن را بنویسید و راهنمایی بخواهید که چرا به پاسخ نمی‌رسد یا کجایش اشتباه است.

و اما خود متن پرسش‌تان. آیزنباد کتاب یا مقاله نیست! اسم یک فرد است! شما باید نام کتاب یا مقاله را به همراه نویسنده‌اش بیاورید حتی اگر یک کتاب داشته‌باشد، در این مورد که آقای آیزنباد کلی تألیفات دارند. در ضمن چرا میدان ضرایب را یک بار با k و یک بار با K نمایش داده‌اید؟ دو میدان متفاوت هستند؟

Answer 1

پاسخ بسیار بسیار بدیهی و مقدماتی‌است حتی انتظار می‌رود دانشجویی که درس جبر یک کارشناسی را می‌گذراند بتواند آن را پاسخ دهد.

یک عنصر از حلقهٔ خارج‌قسمتیِ $\frac{R}{I}$ چه بود؟ یک همدسته از ایده‌آل واقع در مخرج می‌بود که با یک عنصر از آن به عنوان نماینده‌اش نمایش می‌دادیم. برای نمونه در حلقهٔ مانده‌ها به پیمانهٔ یک عدد صحیح می‌توانید هم از نمایشِ $r+k\mathbb{Z}$ استفاده کنید هم می‌توانید از نمایشِ $\bar{r}$. که انتخاب‌های متفاوتی برای $r$ داشتید ولی متداول‌ترین گزینه برداشتن باقیمانده می‌بود.

اکنون یک چندجمله‌ای چه زمانی در یک ایده‌آل قرار می‌گرفت؟ غیر از این می‌بود که اگر و تنها اگر با این است که بتوان آن را به صورت ترکیبی از اعضای مولد این ایده‌آل نوشت؟ توجه کنید که هر چندجمله‌ای فاقدِ $y$ و $z$ در حلقهٔ $k[x,w]$ قرار می‌گیرد پس با $1$ تولید می‌شوند. اکنون برای چندجمله‌ای‌هایی که $y$ و $z$ دارند، جمله‌هایی که دارای $z$ یا $y$ با توان بزرگتر یا مساوی ۲ باشند آنگاه می‌توانید با استفاده از سه چندجمله‌ای داخل مخرج آن جمله‌ها را ساده‌تر کنید و جمله‌هایی با حداکثر توان یک و بدون ظاهر شدن هر دو با هم خواهیم داشت. این یعنی با اضافه کردن $y$ و $z$ به $1$، یک مولد کامل برای $\frac{R}{I}$ به عنوان $k[x,w]$-مدول پیدا کردیم. این مولد سه عضوی است پس مدول‌مان متناهی‌مولد است. آزاد بودنش نیز مشخص است چون هیچ رابطهٔ خطی‌ای بین این سه عنصری که یافتیم نداریم.