اگر $ n $ خالی از مربع باشد و $n=4k+1$ آنگاه نشان می دهیم که $Z[ \alpha ] $ بستار صحیح $ Z[ \sqrt{n}] $ است. که در آن $ \alpha = \frac{1+ \sqrt{n} }{2} $ از آنجایی که $ Z[ \alpha ] $ یک $UFD $ است لذا بستار $ Z[ \alpha ] $ برابر خودش است و از آنجایی که $ Z[ \sqrt{n}] \subseteq Z[ \alpha ] $ پس $ \overline{ Z[ \sqrt{n}]} \subseteq \overline{Z[ \alpha ]} =Z[ \alpha ] $ که در آن $ \overline{Z[ \alpha ]} $ همان بستار $Z[ \alpha ] $ است. خال نشان می دهیم که $Z[ \alpha ] \subseteq \overline{ Z[ \sqrt{n}]} $
اولا دقت کنید که طبق رابطه ی $Z \subseteq Z[ \sqrt{n}] \subseteq \overline{ Z[ \sqrt{n}]} $ کافیست ثابت کنیم که $ \alpha \in \overline{ Z[ \sqrt{n}]} $
از آنحایی که به سادگی میتوان دید که $ \alpha ^{2} - \alpha -k=0$ پس $ \alpha $روی
$ Z[ \sqrt{n}] $ صحیح است پس $ \alpha \in \overline{ Z[ \sqrt{n}]}$
دقت کنید برای حالت $n=4k+1$ همانطور که نشان داده شد عنصر $ \alpha = \frac{1+ \sqrt{n} }{2} $ روی $ Q[ \sqrt{n}] $ صحیح است اما در $ Z[ \sqrt{n}] $ نیست لذا $ Z[ \sqrt{n}] $ به طور بستاری صحیح نیست
حال برای حالات $n=4k+2$ و$n=4k+3$ بنشان میدهیم که خود $Z[ \sqrt{n}] $ یطور بستاری روی $ Q[ \sqrt{n}] $ صحیح است.
دقت کنید در حالت $ n=4k $،$ n$ خالی از مربع نیست.
عنصر دلخواه $ \alpha = \frac{p}{q} + \frac{r}{s} \sqrt{n} $ در $ Q[ \sqrt{n}] $ که روی $ Z[ \sqrt{n}] $ صحیح است را در نظر میگیریم که در آن $(p,q)=1 $ و $ (r,s)=1 $ است این عنصر در معادله زیر که در آن $ \overline{ \alpha }= \frac{p}{q} - \frac{r}{s} \sqrt{n} $صدق میکند(ریشه آن است)
$$ (X- \alpha )(x- \overline{ \alpha } ) = X^{k} - \frac{2p}{q} X+ \frac{ p^{2} }{ q^{2} } - \frac{ r^{2} n}{ s^{2} } $$
اما چون این معادله تکین و مینیمال است لذا ضرایبش باید در $ Z $ باشند یعنی داریم:
$q \mid 2p $ پس $q=1 $ یا $ q=2 $
در حالت $q=1 $ باید $ \frac{ r^{2} n}{ s^{2} } $ صحیح باشد لذا $s^{2} \mid n $ اما $n$ خالی از مربع است لذا $s=1$ پس $ \alpha =p+r\sqrt{n}$ پس در این حالت بدون هیچ مشکلی حکم برقرار است.
اما اگر $q=2$ باید
$$ \frac{ p^{2} }{ q^{2} } - \frac{ r^{2} n}{ s^{2} }= \frac{ p^{2} }{ 4} - \frac{ r^{2} n}{ s^{2} }=\frac{p^{2}s^{2}- 4r^{2} n}{ 4s^{2} } $$
صحیح باشد پس $4$ باید صورت را عاد کند پس $4 \mid p^{2}s^{2} $ اما چون $(p,q)=1 $ پس $ p $ عددی فرد است لذا $4 \mid s^{2}$ یعنی $s=2k $ و چون $ (r,s)=1 $ پس $ r $ نیز فرد است پس $p^{2} \equiv r^{2} \equiv 1(mod \ 4) $
با جایگذاری $s=2k $ کسر به
$$\frac{4p^{2}k^{2}- 4r^{2} n}{ 16k^{2} } = \frac{p^{2}k^{2}- r^{2} n}{ 4k^{2} }$$
پس باید $ 4 $ صورت را عاد کند یعنی به مود $4$ صورت صفر شود و چون $p^{2} \equiv r^{2} \equiv 1(mod \ 4) $ پس $k^{2}-n \equiv 0(mod \ 4) $ اما از آنجایی که $4 \nmid n $ پس $4 \nmid k^{2} $ پس باید $k $ فرد باشد لذا $k^{2} \equiv 1(mod \ 4) $ پس باید داشته باشیم $ n \equiv 1(mod \ 4)$ اما چنین نیست لذا این حالت امکان پذیر نیست چون $n=4k+2$ و$n=4k+3$ است لذا اگر عنصری در مانند $ \alpha = \frac{p}{q} + \frac{r}{s} \sqrt{n} $ در $ Q[ \sqrt{n}] $ اگر روی $ Z[ \sqrt{n}] $ صحیح باشد باید $q=1$ و $s=1$ یعنی حتما عنصری در $ Z[ \sqrt{n}] $ است.
اما برای حالات دیگر که $n $خالی از مربع نیست اگر داشته باشیم $ n= k^{2}m $ که در آن
$m $ خالی از مربع است به سادگی می توان نشان داد که $ Z[ \sqrt{n}] $ با $Z[ \sqrt{m}] $ یکی هستند. پس باز به حالت خالی از مربع می رسیم.
دقت کنید اگر $n $ مربع کامل باشد یعنی $n=k^{2} $ آنگاه $ \sqrt{n}=d $ پس
$Z[ \sqrt{n}]=Z $ و $ Z $ یک $UFD $ است پس بطور بستاری صحیح است.
اثبات اینکه هر حلقه $UFD $ به طور بستاری صحیح است:
فرض کنید که $ K $ میدان خارج قسمتی $ R $ باشد و عنصر دلخواه $ x= \frac{a}{s} $ روی $R $ صحیح باشد که $(a,s)=1$ لذا وجود دارد $ n $ و $ a_{i} \in R $ به طوریکه
$ x^{n} + a_{1} x^{n-1} +...+ a_{n} =0 $
که با جایگذاری $ x= \frac{a}{s} $ داریم $ a^{n} + a_{1} sa^{n-1} +...+ a_{n} s^{n} =0 $ در اینصورت $a^{n} =-s( a_{1} a^{n-1} +...+ a_{n} s^{n-1} ) $ و در نتیجه $s \mid a^{n}$ و چون
$(a,s)=1$ پس $s=1$ یعنی $x \in R $ و حکم ثابت شد
