اگر n خالی از مربع باشد و n=4k+1 آنگاه نشان می دهیم که Z[ \alpha ] بستار صحیح Z[ \sqrt{n}] است. که در آن \alpha = \frac{1+ \sqrt{n} }{2} از آنجایی که Z[ \alpha ] یک UFD است لذا بستار Z[ \alpha ] برابر خودش است و از آنجایی که Z[ \sqrt{n}] \subseteq Z[ \alpha ] پس \overline{ Z[ \sqrt{n}]} \subseteq \overline{Z[ \alpha ]} =Z[ \alpha ] که در آن \overline{Z[ \alpha ]} همان بستار Z[ \alpha ] است. خال نشان می دهیم که Z[ \alpha ] \subseteq \overline{ Z[ \sqrt{n}]}
اولا دقت کنید که طبق رابطه ی Z \subseteq Z[ \sqrt{n}] \subseteq \overline{ Z[ \sqrt{n}]} کافیست ثابت کنیم که \alpha \in \overline{ Z[ \sqrt{n}]}
از آنحایی که به سادگی میتوان دید که \alpha ^{2} - \alpha -k=0 پس \alpha روی
Z[ \sqrt{n}] صحیح است پس \alpha \in \overline{ Z[ \sqrt{n}]}
دقت کنید برای حالت n=4k+1 همانطور که نشان داده شد عنصر \alpha = \frac{1+ \sqrt{n} }{2} روی Q[ \sqrt{n}] صحیح است اما در Z[ \sqrt{n}] نیست لذا Z[ \sqrt{n}] به طور بستاری صحیح نیست
حال برای حالات n=4k+2 وn=4k+3 بنشان میدهیم که خود Z[ \sqrt{n}] یطور بستاری روی Q[ \sqrt{n}] صحیح است.
دقت کنید در حالت n=4k ، n خالی از مربع نیست.
عنصر دلخواه \alpha = \frac{p}{q} + \frac{r}{s} \sqrt{n} در Q[ \sqrt{n}] که روی Z[ \sqrt{n}] صحیح است را در نظر میگیریم که در آن (p,q)=1 و (r,s)=1 است این عنصر در معادله زیر که در آن \overline{ \alpha }= \frac{p}{q} - \frac{r}{s} \sqrt{n} صدق میکند(ریشه آن است)
(X- \alpha )(x- \overline{ \alpha } ) = X^{k} - \frac{2p}{q} X+ \frac{ p^{2} }{ q^{2} } - \frac{ r^{2} n}{ s^{2} }
اما چون این معادله تکین و مینیمال است لذا ضرایبش باید در Z باشند یعنی داریم:
q \mid 2p پس q=1 یا q=2
در حالت q=1 باید \frac{ r^{2} n}{ s^{2} } صحیح باشد لذا s^{2} \mid n اما n خالی از مربع است لذا s=1 پس \alpha =p+r\sqrt{n} پس در این حالت بدون هیچ مشکلی حکم برقرار است.
اما اگر q=2 باید
\frac{ p^{2} }{ q^{2} } - \frac{ r^{2} n}{ s^{2} }= \frac{ p^{2} }{ 4} - \frac{ r^{2} n}{ s^{2} }=\frac{p^{2}s^{2}- 4r^{2} n}{ 4s^{2} }
صحیح باشد پس
4 باید صورت را عاد کند پس
4 \mid p^{2}s^{2} اما چون
(p,q)=1 پس
p عددی فرد است لذا
4 \mid s^{2} یعنی
s=2k و چون
(r,s)=1 پس
r نیز فرد است پس
p^{2} \equiv r^{2} \equiv 1(mod \ 4)
با جایگذاری s=2k کسر به
\frac{4p^{2}k^{2}- 4r^{2} n}{ 16k^{2} } = \frac{p^{2}k^{2}- r^{2} n}{ 4k^{2} }
پس باید
4 صورت را عاد کند یعنی به مود
4 صورت صفر شود و چون
p^{2} \equiv r^{2} \equiv 1(mod \ 4) پس
k^{2}-n \equiv 0(mod \ 4) اما از آنجایی که
4 \nmid n پس
4 \nmid k^{2} پس باید
k فرد باشد لذا
k^{2} \equiv 1(mod \ 4) پس باید داشته باشیم
n \equiv 1(mod \ 4) اما چنین نیست لذا این حالت امکان پذیر نیست چون
n=4k+2 و
n=4k+3 است لذا اگر عنصری در مانند
\alpha = \frac{p}{q} + \frac{r}{s} \sqrt{n} در
Q[ \sqrt{n}] اگر روی
Z[ \sqrt{n}] صحیح باشد باید
q=1 و
s=1 یعنی حتما عنصری در
Z[ \sqrt{n}] است.
اما برای حالات دیگر که n خالی از مربع نیست اگر داشته باشیم n= k^{2}m که در آن
m خالی از مربع است به سادگی می توان نشان داد که Z[ \sqrt{n}] با Z[ \sqrt{m}] یکی هستند. پس باز به حالت خالی از مربع می رسیم.
دقت کنید اگر n مربع کامل باشد یعنی n=k^{2} آنگاه \sqrt{n}=d پس
Z[ \sqrt{n}]=Z و Z یک UFD است پس بطور بستاری صحیح است.
اثبات اینکه هر حلقه UFD به طور بستاری صحیح است:
فرض کنید که K میدان خارج قسمتی R باشد و عنصر دلخواه x= \frac{a}{s} روی R صحیح باشد که (a,s)=1 لذا وجود دارد n و a_{i} \in R به طوریکه
x^{n} + a_{1} x^{n-1} +...+ a_{n} =0
که با جایگذاری x= \frac{a}{s} داریم a^{n} + a_{1} sa^{n-1} +...+ a_{n} s^{n} =0 در اینصورت a^{n} =-s( a_{1} a^{n-1} +...+ a_{n} s^{n-1} ) و در نتیجه s \mid a^{n} و چون
(a,s)=1 پس s=1 یعنی x \in R و حکم ثابت شد
