چه اعمالی را می توان بر یک برابری یا نابرابری پیاده کرد؟

Question

به طور كلی از دو طرف یک تساوی یا نامساوی چه عمل‌هایی مي‌توان گرفت؟ برای نمونه جمع طرف‌های یکسان دو معادله باز هم یک معادله می‌دهد. آیا عمل‌های جمع، ضرب، تقسيم، توان، راديكال، قدرمطلق، جزءصحيح، لگاريتم، حد، مشتق، انتگرال و غیره همگی مجاز هستند؟

Answer 1

خب از آنجا که این سوال تو قسمت دبیرستان مطرح شده منم سعی میکنم یک جواب قانع کننده در همین حد بدم هر چن سوالتون کلی هستش ولی من به دو قسمت آن پاسخ میدم قسمت دیگه رو هم میشه از روی این بدست آورد:

حالت تساوی:

فرض کنیم $a=b$ یا در حالت کلی $f(x)=g(x)$ با رعایت قوانین مربوط به اعمالی که روی دو طرف انجام میدیم می‌توان گفت که هر عملیاتی روی دو طرف انجام بدهی نتیجه‌اش یکسان است. جمع و ضرب و مشتق و ... همشون به شکل دستگاهی عمل میکنن که ورودی و خروجی دارند(که البته این دستگاها واسه هیشکی هیچ تفاوتی قائل نیستن ینی با همه مث هم برخورد میکنن) . مگه میشه دو چیز یکسان رو به یک دستگاه بدیم و نتیجه متفاوت بده بهمون!!!

حالت نامساوی:

بدون کاستن از کلیت مسئله حالت کوچکتر را بررسی می‌کنیم و حالت دیگر رو میشه با ضرب این حالت در یک منفی به دست آورد. فرض کنیم $f(x) < g(x)$ باشد:

جمع:

اگر مقدار $h(x)$ را به دو طرف اضافه کنیم دقیقا مث این هست که این دو تا رو شیفت بدهیم پس باز نامساوی حفظ میشه (علی 10 تومن پول داره و رضا 5 تومن به هر دوتاشون 5 تومن میدیم حالا کدومشون پول بیشتری دارن!!؟؟)

ضرب(تقسیم):

پس $0< (g(x)-f(x))$؛ حال اگر دوطرف رو در $0< h(x)$ ضرب (تقسیم) کنیم آنگاه چون هر دو مثبت هستند پس (مثبت در مثبت باز مثبت) ینی $0 < h(x)(f(x)- g(x))$ و این همان $f(x)h(x) < h(x)g(x)$ می‌باشد یعنی جهت نامساوی عوض نشده؛ ولی اگر دوطرف رو در $0> h(x)$ ضرب (تقسیم) کنیم آنگاه چون منفی هست پس (مثبت در منفی ، منفی میشه ( $0 > h(x)((g(x)-f(x)$ و این همان $f(x)h(x) > h(x)g(x)$ می‌باشد یعنی جهت نامساوی عوض شده؛

جزء صحیح:

باید بگم که در این حالت $[f(x)] \leqslant [(x)g]$ . دیدیم که بعد از جزء صحیح مساوی ظاهر شد. و این در بعضی جاها صادق هست مثلا میدونیم $-0.1 < 0.1 $ ولی $[-0.1]=0=[0.1]$

قدر مطلق:

نمیتوان یک رابطه خاصی پیش‌بینی کرد زیرا سه حالت زیر وجود دارند که هر کدام نتیجه متفاوتی دارن:

1. $-1 < 1 $ ولی $|-1|=1=|1|$

2. $-2 < 1 $ ولی $|-2|>|1|$

3. $-1 < 2 $ و $|-1|<|2|$

مشتق:

مشتق نیز مثل حالت قدرمطلق است نمیتوان نتیجه کلی گرفت:

1. می‌دانیم که برای $x<0$ همیشه $2x < x^2 $ ولی مشتق آنها برای $x<0$ همیشه به صورت $(2x)'=2 > (x^2)'= 2x $ می‌باشد.

2. $ 2 < 3$ ولی $ (2)'=0=(3)'$.

3.می‌دانیم که برای $x>2$ همیشه $2x > x^2 $ و مشتق آنها برای $x>2$ همیشه به صورت $(2x)'=2 < (x^2)'= 2x $ می‌باشد.

لگاریتم:

در اینجاگفته شده است.

ادامه جواب رو بعدا میگذارم اگر هم دوستان ادامه اش رو گذاشتن ممنون میشم.

Comments

@wahedmohammadi برای قسمت تساوی توجه کنید که هر عملی نمی‌توان انجام داد و انتظار داد تساوی برقرار بماند، بلکه باید شرط تابع بودن را داشته باشد. یعنی یک ورودی را به چند خروجی ننگارد.