اگر $ A \in R^{m \times n} $ ماتریسی حقیقی باشد آنگاه $ A^{*}A= A^{T}A $ متقارن است پس ماتریس قطری متعامد با درایه های نا منفی $D \in R^{n \times n} $ وجود دارد که $$A^{T}A=VD V^{T}$$ و در آن $ V \in R^{n \times n} $ یک ماتریس حقیقی متعامد است.
تعریف میکنیم $ \sum = \sqrt{D} \in R^{n \times n}$. اگر در ماتریس اولیه $ A \in R^{m \times n} $ داشته باشیم $m > n $ آنگاه تعدادی سطر با درایه صفر را به $ \sum $ اضافه کنیم تا
$ \sum \in R^{m \times n} $ داشته باشیم.
سپس با حل $AV=U \sum $ از آنجایی که $ \sum,A$و$V $ حقیقی هستند داریم که $ U $ نیز حقیقی است.
