اینکه $d(x,y)=|x-y| $ یک متر است واضح است.(چرا)
کافی است نشان دهیم کامل است. یعنی باید نشان دهیم هر دنباله کوشی در آن همگرا است.
فرض کنید $x_n$ کوشی باشد لذا کراندار است(چرا؟)
هر دنباله کراندار در $\mathbb R$ یک زیردنباله همگرا دارد.(چرا)
اما در هر فضای متریک هر دنباله کوشی که زیر دنباله ای همگرا دارد، همگرا است.(چرا)
لذا حکم ثابت شد. لطفا در هر مرحله مشکل داشتید بفرمایید بیشتر توضیح بدم. من با ریاضیات مهندسی آشنایی ندارم و نمیدونم شما چقدر با این مفاهیم آنالیزی آشنایی دارید.
