برای بدست آوردن تجزیه اولیه ی یک ایده آل تک جمله ای به روش زیر عمل میکنیم.
فرض کنید $ I=( u_{1} , u_{2} ,..., u_{t} ) $ ابتدا $ u_{1} $ را درنظر میگیریم چون تک جمله ای است لذا به صورت حاصلضربی از متغییرها است فرض کنید
$ u_{1}= {x_{ i_{1} }}^{ a_{1} } {x_{ i_{2}}}^{ a_{2} }...{x_{ i_{r}}}^{ a_{r} } $ آنگاه میتوانیم بنویسیم:
$$ I=( {x_{ i_{1} }}^{ a_{1} } , u_{2} ,..., u_{t} ) \bigcap ( {x_{ i_{2}}}^{ a_{2} } , u_{2} ,..., u_{t} ) \bigcap ... \bigcap ( {x_{ i_{r}}}^{ a_{r} } , u_{2} ,..., u_{t} ) $$
مثلا ایده آل $I=({x_{1}}^{2 }x_{2},{x_{2}}^{2 } x_{3}, x_{1} x_{3} )$ را در نظر بگیرید $ u_{1}= {x_{1}}^{2 }x_{2}$ که دو متغییر دارد لذا در مرحله اول مینویسیم $$I=({x_{1}}^{2 }, {x_{2}}^{2 } x_{3}, x_{1} x_{3} ) \bigcap (x_{2}, {x_{2}}^{2 } x_{3}, x_{1} x_{3} )$$
$$ =({x_{1}}^{2 }, {x_{2}}^{2 } x_{3}, x_{1} x_{3} ) \bigcap (x_{2}, x_{1} x_{3} )$$
در مرحله دوم دومین مولدها را درنظر میگیریم.
$$I=[ ({x_{1}}^{2 }, {x_{2}}^{2 }, x_{1} x_{3} ) \bigcap ({x_{1}}^{2 }, x_{3}, x_{1} x_{3} )] \bigcap [ (x_{2}, x_{1} ) \bigcap (x_{2}, x_{3} )]$$
$$=[ ({x_{1}}^{2 }, {x_{2}}^{2 }, x_{1} x_{3} ) \bigcap ({x_{1}}^{2 }, x_{3} )] \bigcap [ (x_{2}, x_{1} ) \bigcap (x_{2}, x_{3} )]$$
در مرحله بعد سومین مولد ها رادر نظر میگیریم:
$$I=[ ({x_{1}}^{2 }, {x_{2}}^{2 }, x_{1} ) \bigcap ({x_{1}}^{2 }, {x_{2}}^{2 }, x_{3} ) \bigcap ({x_{1}}^{2 }, x_{3} )] \bigcap [ (x_{2}, x_{1} ) \bigcap (x_{2}, x_{3} )]$$
$$=[ ( {x_{2}}^{2 }, x_{1} ) \bigcap ({x_{1}}^{2 }, {x_{2}}^{2 }, x_{3} ) \bigcap ({x_{1}}^{2 }, x_{3} )] \bigcap [ (x_{2}, x_{1} ) \bigcap (x_{2}, x_{3} )]$$
$$=[ ( {x_{2}}^{2 }, x_{1} ) \bigcap ({x_{1}}^{2 }, {x_{2}}^{2 }, x_{3} ) \bigcap ({x_{1}}^{2 }, x_{3} )] \bigcap (x_{2}, x_{3} )$$
