توابع دوسویی حافظ اندازه هستند؟

Question

میدانیم تابع اندازه‌پذیر $f : X \to X $ حافظ اندازه است اگر برای هر مجموعه اندازه پذیر $E $ داشته باشیم: $\begin{equation*} \mu(f^{-}(E))=\mu(E) \end{equation*}‎$ حال سوال این است اگر تابع $f$ دوسویی باشد میتوان نتیجه گرفت که حافظ اندازه هم هست؟

Answer 1

به عنوان یک مثال نقض $f:\mathbb R\to \mathbb R$ که $f(x)=2x$ یک به یک و پوشاست اما اندازه لبگ را حفظ نمی کند چرا که برای هر مجموعه اندازه پذیر $A$ داریم $m(f^{-1}(E))=\frac 12m(E)$ .