قضیه : فرض کنید که $G $ یک گروه است و $H$ یک زیر مجموعه ی ناتهی $G$ است در این صورت $H$ زیرگروه $G$ است اگر و تنهااگر به ازای هر $a , b \in H$ داشته باشیم :
$$ab^{-1}\in H$$
که البته اگر گروه جمعی باشد حکم بالا به صورت زیر می شود :
$$a - b \in H$$
حال نشان می دهیم $T$ زیرگروه اعداد حقیقی است تحت عمل جمع . فرض کنیم $$x,y \in T$$ پس $a,b,c,d \in Z $ وجود دارند که :
$$ x = a +b\sqrt{2} $$$$ y = c +d\sqrt{2} $$ حال داریم :
$$ x-y = (a-c)+(b-d)\sqrt{2}$$ چون $a,b,c,d$ اعداد صحیح هستند پس $a-c , b-d $ نیز صحیح هستند پس $x-y\in T$ بنابراین $T$ زیرگروه $G$ است.
