اگر $(M,d)$ یک فضای متریک و $X, Y\subset M$ در اینصورت تعریف می کنیم
$$d(x,Y)=\inf\{d(x,y):y\in Y\}$$
و
$$\tau(X,Y)=\sup\{d(x,Y):x\in X\}$$
به عبارت دیگر:
$$\tau(X,Y)=\sup_{x\in X}\inf_{y\in Y}d(x,y)$$
فاصله هاسدورف به صورت زیر تعریف میشود:
$$\begin{align}d_H(X, Y)&=\max\{\sup_{x\in X}\inf_{y\in Y}d(x,y), \sup_{y\in Y}\inf_{x\in X}d(x,y)\}\\
&=\max\{\tau(X,Y),\tau(Y,X)\}\end{align}$$
برای هر $\epsilon>0$ تعریف می کنیم
$$X_\epsilon =\bigcup_{x\in X}\{z\in M: d(z,x)\leq \epsilon\}$$
به عبارت دیگر
$$X_\epsilon =\{z\in M: d(z,x)\leq \epsilon \text{ for some }x\in X\}$$
اما از طرفی $d(x,A)=\inf\{d(x,y):y\in A\}$ لذا تعریف بالا را می توان به صورت ساده تر زیر نوشت:
$$X_\epsilon =\{z\in M: d(z,X)\leq \epsilon\}$$
در این صورت می توانید موارد زیر را بررسی کنید:
- اگر $\tau(X,Y)< \epsilon$ در اینصورت $X\subset Y_\epsilon$
- اگر $X\subset Y_\epsilon$ در اینصورت $\tau(X,Y)\leq \epsilon$
لذا
$$\tau(X,Y)\leq \epsilon \iff X\subset Y_\epsilon$$
فرض کنید $\{G_\alpha\}$ یک پوشش باز از $\cup S_n\cup S$ باشد. چون یک پوشش از مجموعه فشرده $S$ است لذا یک زیر پوشش متناهی $\{G_{\alpha_i}\}_{i=1}^n$ از $S$ وجود دارد. اگر قرار دهید $G=\bigcup_1^n G_{\alpha_i}$ اگر $\epsilon>0$ را طوری بگیرید که $S_\epsilon \subset G$ (چرا می توانیم همچین $\epsilon>0$ را انتخاب کنیم. در واقع شما باید تا اینجا رو انجام میدادید و این سوال رو می پرسیدید که این اپسیلون رو چی بگیرم. من فعلا این رو برای خودتون میذارم که روش فکر کنید)
در اینصورت چون $S_n\to S$ در متریک هاسدورف پس $N$ ی هست که برای $n\geq N$ داریم $d_H(S_n, S)\leq \epsilon$ مخصوصا $\tau(S_n, S)\leq \epsilon$ بنابراین برای $n\geq N$ داریم $S_n\subset S_\epsilon\subset G$
چون $\cup_1^{N-1}S_n$ هم فشرده است و $\{G_\alpha\}$ یک پوشش باز برای آن لذا یک زیر پوشش متناهی مثل $G_{\alpha_{n+1}},...,G_{\alpha_{n+k}}$ برای آن وجود دارد در اینصورت زیر پوشش متناهی $G_{\alpha_1},...., G_{\alpha_n},G_{\alpha_{n+1}},...,G_{\alpha_{n+k}}$ را پیدا کردیم پس فشرده است.
