اجتماع سیگما جبر لزوما سیگماجبر نیست.

Question

میدانیم اشتراک سیگما جبرها یک سیگما جبر است. مثالی بزنید که نشان دهد اجتماع دو سیگما جبر میتواند سیگما جبر نباشد.

Answer 1

مجموعه ی اعداد طبیعی را در نظر بگیرید و قرار دهید

$ \sigma _{1} =\lbrace \emptyset ,\lbrace 1\rbrace ,\lbrace1\rbrace ^{c} , N \rbrace$

و

$ \sigma _{2} =\lbrace \emptyset ,\lbrace 2\rbrace ,\lbrace2\rbrace ^{c} , N \rbrace$

آنگاه

$ \sigma _{1} \cup \sigma _{2} =\lbrace \emptyset ,\lbrace 1\rbrace ,\lbrace1\rbrace ^{c} ,\lbrace 2\rbrace ,\lbrace2\rbrace ^{c} , N \rbrace $

چون عنصر $\lbrace \lbrace 1\rbrace , \lbrace 2\rbrace \rbrace$ در $ \sigma _{1} \cup \sigma _{2} $ نیست لذا $ \sigma $ -جبر نیست

Answer 2

یه مجموعه رو بگیر A و متمم A و X و تهی. مجموعه بعدی رو بگیر B و متمم BوXوتهی. هر دو تا مجموعه بداهتا سیگما جبر هستن ولی اجتماع اونها A اجتماعش با B رو نداره پس سیگما جبر نیست.

به همین راحتی.