بفرض $A_n$ مجموعهٔ شمارنده های عدد $n$ باشد. مجموعهٔ $A_{51}\cup A_{52}\cup\cdots\cup A_{100}$ چند عضو دارد؟

Question

فرض کنید $A_i$ نشان دهنده مجموعه مقسوم علیه‌های عدد $i$ باشد، به عنوان مثال $A_6= \lbrace 1,2,3,6\rbrace$. مجموعه $A_{51} \bigcup A_{52} \bigcup ... \bigcup A_{100}$ چند عضو دارد؟

الف) 50 عضو

ب) 100 عضو

ج) 200 عضو

د) 3775 عضو

Comments

ببخشید این مال کدوم المپیاد هست؟چون تو سمپاد هم اومده.

Answer 1

چون اجتماع داریم پس هر مقسوم علیه یکبار حساب می شود. هر عدد خود مقسوم علیه خود است و هر عدد کمتر از 50 هم مقسوم علیه 2 برابر آن عدد است.

پس کل اعداد 1 تا 100 در این مجموعه قرار می گیرند. و اگر $d$ مقسوم علیه عددی باشد از آن کوچکتر است و بزرگتر یا مساوی 1 است. پس تمام مقسوم علیه ها همین تعداد عدد هستند.

Comments

@erfanm بخش دوم جملهٔ دوم‌تان دلیل بر بودن عددهای ۱ تا ۵۰ در این مجموعه نمی‌شود، تنها دلیل بودن عددهای ۲۶ تا ۵۰ در این مجموعه می‌شود. برای تکمیل اثبات‌تان با همین روش، باید از ویژگی ترایایی شمارنده بودن و چند مرتبهٔ دیگر تکرار کردن همین ایده، کل بازه را پوشش دهید. یعنی گام پسین ۱۳ تا ۲۵، گام سوم ۷ تا ۱۲، گام چهارم ۴ تا ۶، گام پنجم ۲ تا ۳ و عدد ۱ هم که به روشنی در مجموعه هست.