اثبات زیرمجموعه‌بودن سمت راست در چپ آشکار است. به فرض A=[a_{ij}] عضو M_n(I) باشد پس a_{ij}ها عضو I هستند. به همین ترتیب B=[b_{ij}] را از M_n(J) بردارید پس b_{ij}ها عضو J هستند. حاصلضرب این دو ماتریس AB برابر میشود با ماتریس [c_{ij}] که برای هر i و j داریم c_{ij}=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj} اما حاصل این ترکیب‌ها در IJ قرار می‌گیرند پس تمامی c_{ij}
ها در IJ قرار دارند که یعنی AB عضو M_n(IJ) است.
اکنون توجه کنید که یک عضو از M_n(I)M_n(J) به شکل A_1B_1+\cdots+A_kB_k است که k عددی طبیعی و برای هر \ell بین یک و k داریم A_\ell\in M_n(I) و B_\ell\in M_n(J)، با توجه به بحث بالا تمام A_\ell B_\ellها عضو M_n(IJ) هستند. توجه کنید که اگر درایه‌های ماتریس حاصل از این جمع متناهی برابر جمع متناهی درایه‌های نظیر به نظیر تک تک حاصلضرب‌ها است و این درایه‌ها همه عضو ایده‌آل IJ هستند و یک ایده‌آل نسبت به جمع متناهی اعضایش بسته است پس درایه‌های ماتریس حاصل همگی در IJ هستند و این یعنی خود این ماتریس در M_n(IJ) است.
پس ثابت شد که M_n(I)M_n(J)\subseteq M_n(IJ)
می‌رویم سراغ اثبات سمت دیگر زیرمجموعه‌بودن.
به یاد آورید که یک ماتریس را میتوان جمع یک تعداد ماتریس اولیه به این معنا که تنها یک درایهٔ این ماتریس‌ها ناصفر است، نوشت. برای نمونه اگر A ماتریس m\times n با درایه‌های a_{ij} است، میتوان نوشت A=\sum_{i,j}a_{ij}E_{ij} که ماتریس E_{ij} تنها درایهٔ i و Jاُم آن یک و سایر درایه‌هایش صفر هستند.
نکتهٔ مثبت این است که صفر عضو هر زیرحلقه‌ای و در نتیجه عضوی از هر ایده‌آل است پس هر دوی I و J و در نتیجه IJ نیز، صفر حلقه‌مان را دارند.
یک عضو از M_n(IJ) مانند A به شکل [a_{ij}] است که برای هر i و j یک عدد طبیعی n_{i,j} و n_{i,j}تا عنصر x_{i,j,k} از I و n_{i,j}تا عنصر y_{i,j,k} از J وجود دارند که a_{ij}=\sum_{k=1}^{n_{i,j}}x_{i,j,k}y_{i,j,k} پس می‌توانیم A را به شکل زیر بنویسیم.
A=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^{n_{i,j}}x_{i,j,k}y_{i,j,k}E_{ij}
از طرفی توجه داشته‌باشید که برای هر عدد دلخواه
\ell بین یک و
n می‌توانید ماتریس
E_{ij} را به شکل
E_{i\ell}E_{\ell j} تجزیه کنید. و به دنبال آن داریم
xyE_{ij}=(xE_{i\ell})(yE_{\ell j}). پس رابطهٔ آخری که نوشته‌بودیم به شکل زیر ساده میشود.
A=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^{n_{i,j}}(x_{i,j,k}E_{i\ell})(y_{i,j,k}E_{\ell j})
توجه کنید که
x_{i,j,k}E_{i\ell} ها عضو
M_n(I) و
y_{i,j,k}E_{\ell j}ها عضو
M_n(J) هستند. پس چون
A که یک عنصر دلخواه از
M_n(IJ) بود را توانستیم به شکل جمع متناهی (در واقع
\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n n_{i,j}) از حاصلضرب عنصرهای
M_n(I) در عنصرهای
M_n(J) بنویسیم پس:
M_n(IJ)\subseteq M_n(I)M_n(J)
