اثبات نامساوی برنولی به کمک استقرای ریاضی

Question

به کمک استقرای ریاضی ثابت کنید $(x > -1)$

$ \forall n \in N : (x+1)^{n} \geq 1+nx$

Answer 1

اگر حکم به ازای n درست باشد میتوان نوشت :

$(1+x)^{n+1} \geq (1+nx)(1+x)=1+(n+1)x+nx^2$

چون $nx^2$ حتما نامنفی است پس $1+(n+1)x+nx^2 \geq 1+(n+1)x$ در نتیجه $ (1+x)^{n+1} \geq 1+(n+1)x$

پس اگر حکم به ازای n درست باشد به ازای n+1 نیز درست است حال فقط باید ثابت کنیم حکم به ازای $n=1$ درست است .