یک حد نمایی تکراری جالب:گیریم n یک عدد طبیعی و $ f_{n} (x)= x^{ x^{ ...^{x} } } $مطلوب است محاسبه حد زیر....

Question

گیریم n یک عدد طبیعی و

$$ f_{n} (x)= x^{ x^{ ...^{x} } } $$

مطلوب است محاسبه حد زیر

$$ \lim_{x \rightarrow 1} \frac{ f_{n} (x)- f_{n-1} (x)}{ (1-x)^{n} } $$

Comments

منظور از اندیس n چیه؟

---

تعداد ایکس ها.

---

مطمئنید که حد وجود داره؟ چون به ازای n=2 جواب حد 1 و به ازای n=3 جواب حد 1- میشه

---

خب این که گفتین چه خللی در وجود حد ایجاد میکنه؟
درواقع شما الان حد رو محاسبه کردین یعنی جواب برابر منهای 1 به توان n . ولی جواب آخر رو چه طور میشه به دست آورد؟

Answer 1

جواب آخر میشه $ (-1) ^{n} $ برای حل از هم ارزی $ e^{u}=1+u $ استفاده کردم: $$ \lim_{x \rightarrow 1} \frac{f_n-f_{n-1}}{(1-x)^{n}} =\lim_{x \rightarrow 1}{ \frac{ e^{Lnf_{n} (x) } - e^{Lnf_{n-1} (x) } }{(1-x)^{n}} }= \lim_{x \rightarrow 1}{ \frac{ e^{f_{n-1} (x)Lnx } - e^{f_{n-2} (x)Lnx } }{(1-x)^{n}} }= \ $$ $$ \lim_{x \rightarrow 1} \frac{Lnx(f_{n-1} (x)-f_{n-2} (x))}{ (1-x)^{n} } $$ اگر این مرحله را $ n-2 $ بار تکرار کنیم: $$ \lim_{x \rightarrow 1} \frac{ (Lnx)^{n-2}(f_2(x)-f_1(x)) }{(1-x)^{n}} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{ (Lnx)^{n-2}(e^{xLnx}-e^{Lnx}) }{(1-x)^{n}}$$ $$ = -\lim_{x \rightarrow 1} ( \frac{Lnx}{1-x} )^{n-1} $$ $$ = -(\lim_{x \rightarrow 1} \frac{Lnx}{1-x})^{n-1} =^{Hop} -( \lim_{x \rightarrow 1} \frac{ \frac{1}{x} }{-1} )^{n-1} =-(-1)^{n-1}=(-1)^{n} $$

Comments

بعد از n-1 مرحله عدد -1 رو از کجا آوردین که نوشتین (1-x)?

---

به جای f_0 گذاشته بودم یک که چون n باید طبیعی باشه یه جورایی غلطه.
الان یه مرحله بیشتر نوشتم که واضح تر باشه