اگر پیدا کردن سری مطلوب سوال باشد .
با یادآوری شروع میکنیم :
بسط تیلور تابع $f$ که بی نهایت بار در نقطه $a$ مشتق پذیر است عبارت است از سری:
$$\sum_0^\infty \frac{f^n(a)}{n!}(x-a)^n$$
که $f^n(a)$ مشتق مرتبه $n$ ام است.
به عبارت دیگر
$$f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f^3(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots$$
چنانچه$a=0$ در اینصورت بسط تیلور تابع $f$ در صفر را بسط مک لورن آن تابع گویند.
حال سری مکلورن برای تابع مورد نظر مینویسیم :
$$f(x)=\ln(x+1)$$
$$\begin{align}
&f^{(1)}(x)=(1+x)^{-1} &\implies \ f^{(1)}(0)=1\\
&f^{(2)}(x)=-(1+x)^{-2} &\implies f^{(2)}(0)=-1\\
&f^{(3)}(x)=2(1+x)^{-3} &\implies \ f^{(3)}(0)=2\\
&f^{(4)}(x)=-6(1+x)^{-4} &\implies \ f^{(4)}(0)=-6\\
\end{align}$$
در نتیجه با توجه به یاد آوری خواهیم داشت :
$$\ln(1+x) = +\frac{x}{1!} - \frac{x^2}{2!} + \frac{2x^3}{3!} - \frac{6x^4}{4!} + ...$$
