سری مک لورن $\ln(x+1)$حول نقطه صفر

Question

لطفا روش به دست آوردن سری مک لورن $\ln(x+1)$ حول نقطه صفر را بیان کنید.

Answer 1

اگر پیدا کردن سری مطلوب سوال باشد .

با یادآوری شروع میکنیم :

بسط تیلور تابع $f$ که بی نهایت بار در نقطه $a$ مشتق پذیر است عبارت است از سری: $$\sum_0^\infty \frac{f^n(a)}{n!}(x-a)^n$$ که $f^n(a)$ مشتق مرتبه $n$ ام است. به عبارت دیگر $$f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f^3(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots$$

چنانچه$a=0$ در اینصورت بسط تیلور تابع $f$ در صفر را بسط مک لورن آن تابع گویند.

حال سری مکلورن برای تابع مورد نظر مینویسیم :

$$f(x)=\ln(x+1)$$ $$\begin{align} &f^{(1)}(x)=(1+x)^{-1} &\implies \ f^{(1)}(0)=1\\ &f^{(2)}(x)=-(1+x)^{-2} &\implies f^{(2)}(0)=-1\\ &f^{(3)}(x)=2(1+x)^{-3} &\implies \ f^{(3)}(0)=2\\ &f^{(4)}(x)=-6(1+x)^{-4} &\implies \ f^{(4)}(0)=-6\\ \end{align}$$

در نتیجه با توجه به یاد آوری خواهیم داشت :

$$\ln(1+x) = +\frac{x}{1!} - \frac{x^2}{2!} + \frac{2x^3}{3!} - \frac{6x^4}{4!} + ...$$

Comments

سلام راجه به حل توضیحات نداره که بنویسین

Answer 2

یک روش دیگر به کمک اتحاد $$\frac 1{1+t}=1-t+t^2-t^3+\cdots$$ که می دانیم برای $|t|< 1$ برقرار است. با انتگرال گیری از طرفین تساوی بالا از صفر تا $x$ داریم $$\begin{align}\int_0^x \frac 1{1+t}dt&=\ln (1+x)\\ &=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\frac{x^4}4+\cdots\end{align}$$

Comments

@fardina
روش خیلی جالبیه.آیا محدودیت t مشکلی در کلیت حکم بدست آمده ندارد؟

---

در $x$ که محدودیتی اعمال نشده.