قضیه
فرض کنید $\{a_n\}$ دنباله ایی از اعداد مثبت باشد .
اگر $\lim_n \dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ موجود و برابر $l$ باشد آنگاه :
$$\lim_n \sqrt[n]{a_n}=l$$
مثال
حاصل حد زیر چیست :
$$\lim_n\sqrt[n]{\dfrac{x^n}{2n+1}}$$
از قضیه بالا استفاده میکنیم :
$$\lim_n \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\lim _n\dfrac{\dfrac{x^{n+1}}{2(n+1)+1}}{\dfrac{x^{n}}{2(n)+1}}=\lim_n \dfrac{x(2n+1)}{2n+2}=x$$
در نتیجه :
$$\lim_n \sqrt[n]{a_n}=x=\lim_n\sqrt[n]{\dfrac{x^n}{2n+1}}$$
