به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
65 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط kazomano

اگر $T:V \rightarrow V$ یک تبدیل خطی روی فضای برداری $n$ بعدی $V$ روی میدان $F$ با مشخصه 2 باشد به طوریکه $ T^{2} =I$ قرار دهید $W= \lbrace v \in V|T(v)=v\rbrace $. آنگاه برای $dimW$ چه می توان گفت؟

1) $dimW \geq \frac{n}{2} $

2) $dim W<\frac{n}{2} $

3) $dim W=n-1$

4) $dim W=n$

آزمون دکتری

جواب سازمان سنجش گزینه 1

تلاش برای حل :

اگه تعریف کنیم $S= \lbrace v \in v|T(v)=-v\rbrace $ اونوقت $V=S \oplus W$ چرا که اولا اگه $v \in S \bigcap W$ اونوقت $v=T(V)=-v$ پس $v=0$ بنابراین $S \bigcap W= \lbrace 0\rbrace $.

اگه فرض کنیم $v \in V$ آنگاه $ T^{2} (v)=T(T(v)=v$ پس $T(v) \in W$ همچنین $T(v-T(v))=T(v)- T^{2} (v)=-(v-T(v))$ پس $v-T(v) \in S$

در نتیجه $v=T(v)+(v-T(v))$ یعنی $V=W \oplus S$

پس $n=dimW+dimS$

تا اینجا پیش رفتم ولی واضح نیست چه طور میشه گزینه یک رو نتیجه گرفت.

الان مشخصه 2 چه کمکی به ما میکنه؟

دارای دیدگاه توسط AmirHosein
در میدان با مشخصهٔ ۲ همواره داریم $1=-1$ بنابراین چیزی که $S$ تعریف کرده‌اید چیزی به جز خود $W$ نیست و اگر قرار باشد اشتراک این دو تک‌عضوی صفر شود آنگاه بعد $W$ باید صفر شود!

1 پاسخ

0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط kazomano

فرض کنیم $v \in W$ آن‌گاه $T(v)=v+v-v$ چون میدان از مشخصه 2 است پس $v+v=0$ پس $T(v)=-v$ و در نتیجه $v \in S$ پس $W=S$.

دقت می کنیم که $W=ker(T-I)$ و $S=ker(T+I)$. حال نشان می دهیم

$$Im(T-I) \subset ker(T+I)$$

فرض کنیم $x \in Im(T-I)$ سپس وجود دارد $y \in V$ به طوریکه $x=(T-I)(y)$ حال

$(T+I)(x)=(T+I)(T-I)(y)=( T^{2} -I)(y)=0$ چرا که $ T^{2} =I $. بنابراین

$$n=dimIm(T-I)+dimker(T-I) \leq dimker(T+I)+dimker(T-I)=2dimker(T-I)$$

بنابراین

$$dimW \geq \frac{n}{2} $$
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
تمام + و - ها را می‌توانید یکی کنید. عملا استفادهٔ خاصی از تعریف $S$ در پاسخ‌تان نمی‌بینم.
دارای دیدگاه توسط kazomano
S رو برای نشان دادن اینکه تلاش بالا برای اثبات جمع مستقیم بودن درست نیست آوردم.

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...