تبدیل خطی روی میدان با مشخصه 2

Question

اگر $T:V \rightarrow V$ یک تبدیل خطی روی فضای برداری $n$ بعدی $V$ روی میدان $F$ با مشخصه 2 باشد به طوریکه $ T^{2} =I$ قرار دهید $W= \lbrace v \in V|T(v)=v\rbrace $. آنگاه برای $dimW$ چه می توان گفت؟

1) $dimW \geq \frac{n}{2} $

2) $dim W<\frac{n}{2} $

3) $dim W=n-1$

4) $dim W=n$

آزمون دکتری

جواب سازمان سنجش گزینه 1

تلاش برای حل :

اگه تعریف کنیم $S= \lbrace v \in v|T(v)=-v\rbrace $ اونوقت $V=S \oplus W$ چرا که اولا اگه $v \in S \bigcap W$ اونوقت $v=T(V)=-v$ پس $v=0$ بنابراین $S \bigcap W= \lbrace 0\rbrace $.

اگه فرض کنیم $v \in V$ آنگاه $ T^{2} (v)=T(T(v)=v$ پس $T(v) \in W$ همچنین $T(v-T(v))=T(v)- T^{2} (v)=-(v-T(v))$ پس $v-T(v) \in S$

در نتیجه $v=T(v)+(v-T(v))$ یعنی $V=W \oplus S$

پس $n=dimW+dimS$

تا اینجا پیش رفتم ولی واضح نیست چه طور میشه گزینه یک رو نتیجه گرفت.

الان مشخصه 2 چه کمکی به ما میکنه؟

Comments

در میدان با مشخصهٔ ۲ همواره داریم $1=-1$ بنابراین چیزی که $S$ تعریف کرده‌اید چیزی به جز خود $W$ نیست و اگر قرار باشد اشتراک این دو تک‌عضوی صفر شود آنگاه بعد $W$ باید صفر شود!

Answer 1

فرض کنیم $v \in W$ آن‌گاه $T(v)=v+v-v$ چون میدان از مشخصه 2 است پس $v+v=0$ پس $T(v)=-v$ و در نتیجه $v \in S$ پس $W=S$.

دقت می کنیم که $W=ker(T-I)$ و $S=ker(T+I)$. حال نشان می دهیم

$$Im(T-I) \subset ker(T+I)$$

فرض کنیم $x \in Im(T-I)$ سپس وجود دارد $y \in V$ به طوریکه $x=(T-I)(y)$ حال

$(T+I)(x)=(T+I)(T-I)(y)=( T^{2} -I)(y)=0$ چرا که $ T^{2} =I $. بنابراین

$$n=dimIm(T-I)+dimker(T-I) \leq dimker(T+I)+dimker(T-I)=2dimker(T-I)$$

بنابراین

$$dimW \geq \frac{n}{2} $$

Comments

تمام + و - ها را می‌توانید یکی کنید. عملا استفادهٔ خاصی از تعریف $S$ در پاسخ‌تان نمی‌بینم.

---

S رو برای نشان دادن اینکه تلاش بالا برای اثبات جمع مستقیم بودن درست نیست آوردم.