نخست صرفا برای تأکید بر اینکه حکم برای هر نیمگروهی برقرار نیست نیمگروه اعداد طبیعی (اعداد طبیعی صفر را ندارد) با عمل جمع را در نظر بگیرید، در این نیمگروه هیچ عنصر خودتوانی ندارد.
اکنون فرض کنید $S$ یک نیمگروه متناهی باشد. پس تعداد اعضایش متناهی است، آن را با $n$ نمایش دهید. تعریف عنصر خودتوان را به یاد آورید، یک عنصر $x\in S$ خودتوان نامیده میشد اگر $x^2=x\cdot x=x$. اگر در کلاس درسهای جبری خوب توجه کردهباشید یکی از شاهکلیدهایی که در مسائل مربوط به ساختارهای جبری متناهی به دفعات استفاده میشود این است که برای هر عنصر دلخواه مانند $x$ چون برای توانهایش تعداد متناهی حالت میتواند انتخاب شوند پس از یک جایی به بعد تکرار رخ میدهد. پس یک عنصر کاملا دلخواه بردارید. مجموعهٔ توانهایش را شروع به محاسبه کنید $x$، $x^2$، $x^3$، $x^4$، ... اولین باری که به یک عنصر تکراری رسیدید توقف کنید. به فرض $n_1<n_2$ نخستین دو عدد متوالیای باشند که $x^{n_1}=x^{n_2}$ در اینصورت هر عددی که پس از $n_2$ بردارید دارید $x^{n}=x^{n-(n_2-n_1)}$. توجه کنید که از عنصر وارون استفاده نکردهایم چون در نیمگروهها وجود عنصر وارون مشخص نیست. چون $n>N_2$ پس $n-(n_2-n_1)>n_1$ و در نتیجه:
$$x^n=x^{n-n_2+n_2}=x^{n-n_2}x^{n_2}=x^{n-n_2}x^{n_1}=x^{n-n_2+n_1}=x^{n-(n_2-n_1)}$$
اکنون $k$ را یک عدد دلخواه بردارید که $2k(n_2-n_1)>n_2$ و $k(n_2-n_1)>n_1$. واضح است که میتوان بیشمار $k$ با این شرایط یافت. قرار دهید $y=x^{k(n_2-n_1)}$ در اینصورت $y^2=y$.
