چگونه میتوان از همگرای مطلق بودن سری $a_n$، همگرای مطلق بودن سری های $a_n^2$ و $\frac{a_n}{1+a_n}$ را نتیجه گرفت؟

Question

سوال می‌گوید که اگر $ \sum_0^∞ a_{n} $ همگرای مطلق باشد اثبات کنید که دو سری زیر نیز همگرای مطلق هستند. $ \sum_1^∞ ( a_{n} )^2 $ و $ \sum_1^∞ (\frac{ a_{n} }{1 + a_{n}} ) $ من از شیوهٔ اثبات همگرایی مطلق خواستم استفاده کنم ولی به نتیجه‌ای نرسیدم.

Answer 1

مثال نقض: $\sum\limits_1^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt n}$ همگراست در حالیکه $\sum\limits_1^\infty\left(\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\right)^2=\sum\limits_1^\infty \frac 1n$ واگراست.

گزاره ای که بیان کردید وقتی درست است که سری نامنفی باشد یعنی $a_n\geq 0$.

در اینصورت چون $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n^2}{a_n}=\lim\limits_{n\to \infty}a_n=0$، آزمون مقایسه حدی همگرایی $\sum\limits_1^\infty a_n^2$ را تضمین می کند.

همچنین چون $\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{a_n}{\frac{a_n}{1+a_n}}=\lim\limits_{n\to\infty}1+a_n=1$ باز هم ازمون مقایسه حدی نشان می دهد $\sum\limits_1^\infty\frac{a_n}{1+a_n}$ همگراست.

Comments

خیلی ممنون که وقت گذاشتید و پاسخ دادید
بنده در عنوان مسئله اشاره کردم ولی در خود سوال فراموش کردم که فرض همگرای مطلق بودن an را بنویسم