المپیاد ریاضی دانش آموزی $92$(سی و دومین دوره) سوال$15$

Question

«ضربین حساب» ماشینی است که از یک صفحه نمایشگر با قابلیت نمایش اعداد خیلی بزرگ و دکمه هایی با شماره های از $1$ تا$9$ تشکیل شده است. با فشار دادن هر دکمه، ضربین حساب بلافاصله عدد صفحه ی نمایش گر را در عدد مربوط به ان دکمه ضرب میکند و حاصل را بجای عدد قبلی در صفحه نمایش میدهد. اگر ابتدا عدد $1$ روی صفحه ی نمایشگر نوشته شده باشد، برای بدست آمدن عدد $ 2^{2014} \times 3^{1435} \times 5^{1392} $ دست کم چند بار باید از دکمه های ضربین حساب استفاده کرد؟(برای مثال میتوان با سه بار استفاده از دکمه های ضربین حساب به 729 دست یافت، زیرا $ 729=9 \times 9 \times 9 $ .)

Answer 1

اگه درست متوجه سوال شده باشم باید سعی کنیم از اعداد بزرگ استفاده کنیم تا با کمترین دکمه به عدد مورد نظر برسیم. داریم: $$ 2^{2014}=(2^3)^{671}\times 2=8^{671}\times 2 $$

$$ 3^{1435}=(3^2)^{717}\times 3=9^{717}\times 3 $$

به جای اینکه اون $ 2 $ و $ 3 $ رو هم جداجدا بزنیم بهتره که $6 $ رو بزنیم. لذا تعداد دکمه هایی که باید بزنیم برابر است با: $$ 671+717+1+1392 $$

Comments

مرسی
توجه به اینکه 2 و 3 رو هم یکی کنیم عالی بود. من تو حل اون رو فراموش کرده بودم