فرض کنید $R$ حلقه ای یک دار باشد و $n$ عددی طبیعی که برای هر $x\in R$ داریم $x^n=x$. ثابت کنید که $R$ جابجایی است.

Question

فرض کنید $R$ یک حلقه باشد. ثابت کنید که

1. اگر برای هر $a\in R$، داشته‌باشیم $a^3=a$، آنگاه $R$ حلقه‌ای جابجایی است.
2. اگر برای هر $a\in R$، داشته‌باشیم $a^4=a$، آنگاه $R$ حلقه‌ای جابجایی است.
3. اگر $n\geq 2$ای یافت شود که برای هر $a\in R$، داشته‌باشیم $a^n=a$، آنگاه $R$ حلقه‌ای جابجایی است.

Comments

برای nهای مساوی دو ویا مساوی سه میتوان ثابت کرد. ولی برای nهای بیشتر از۳ را نمیدانم. این حالت آخر رو از خودتون گفتید؟ کجا بوده این سوال؟؟

---

@Salva پست زیر را بخوانید. عنوان پرسش‌تان نامناسب است. «عنوان» با «برچسب» یا اسم درس یا اسم فصل فرق می‌کند.
https://math.irancircle.com/11973

---

این واسه درس نظریه حلقه و مدول هست، که پیشنیازهاش مبانی جبر، جبر و... هستش
از کتاب جبر 1 تقی پور است فصل 9 مربوط به حلقه @mdgi
تمرینات مبارزه طلب که سخته حل کردنش چون مجازی درس دادن و کیفیت درس دادن پایین بوده
بسته به خواسته مسئله و درسش عنوان و برچسب ها درست هستن @AmirHosein

---

@Salva مطمئن هستید پستی که پیوندش را قرار دادم را خوانده‌اید؟ عنوان مناسب برای پرسش شما چیزی شبیه به این است: «اگر در یک حلقهٔ یک‌دار برای عدد  طبیعی ثابتی مانند $n$ و هر عضو دلخواه حلقه مانند $a$ داشته‌باشیم $a^n=a$ آنگاه این حلقه جابجایی است.»
در رابطه با اینکه ار چه کتاب و فصل و تمرینی برداشته‌اید، می‌توانید آن را در قسمت مرجع اضافه کنید. کسی در مورد پیش‌نیازهای درس یا اینکه چطور این درس به شما تدریس شده‌است چیزی نپرسیده‌است. لطفا پرسش‌تان را ویرایش کنید. به ویژه عنوان.

Answer 1

حالت $n=2$ در پست https://math.irancircle.com/20336 پرسیده شده‌است. حالت کلی یعنی برای هر عدد طبیعی بزرگتر یا مساوی ۲ به قضیهٔ جِیْکُبْسِن Jacobson شناخته می‌شود.

قضیهٔ جیکبسن

بفرض $R$ یک حلقه باشد. اگر عدد طبیعی $n$ای یاقت شود که برای هر $x\in R$ داشته‌باشیم $x^n=x$، آنگاه $R$ حلقه‌ای جابجایی است.

این قضیه توسط ناتان جیکبسن Nathan Jacobson یک ریاضی‌دان آمریکایی در مقالهٔ زیر ثابت شده‌است.

Nathan Jacobson, Structure Theory for Algebraic Algebras of Bounded Degree, Annals of Mathematics, Second Series, Volume 46, Number 4, 1945, pages 695-707, DOI: 10.2307/1969205.

که می‌توانید بر روی کُدِ DOI-ِ آن کلیک کنید و به صفحهٔ مقاله بروید و آن را دانلود کنید. اگر نمادگذاری مقاله برایتان دشوار است و مطلب کوتاه‌تر با نمادگذاری‌های رایج‌تر می‌خواهید می‌توانید به این صفحهٔ الکترونیکی نگاه کنید (اینجا کلیک کنید).