رابطهٔ $\pi(n)\leq\frac{n}{\ln(n)}$ که در آن منظور از $\pi(n)$ تعداد عددهای اول کوچکتر یا مساوی $n$ است چگونه ثابت می شود؟

Question

می‌خواستم بپرسم میتونید اثبات کنید که $ \frac{x}{ln(x)} \geq \pi (x)$ این تابع همان تقریب معروف این تابع است ولی من در نمودار ها این موضوع رو مشاهده کردم ولی متاسفانه اثبات نکردم ممنون میشم اثبات کنید

Comments

@ناصرـآهنگرپور دیدگاه‌تان را در قالب پاسخ بفرستید چون مرجع برای اثبات آن داده‌اید که پرسش‌گر می‌تواند مراجعه کند و اثبات را بخواند. @آزادazad من برایتان عنوان پرسش را ویرایش کردم ولی متن پرسش را خودتان ویرایش کنید. برای نمونه معلوم نیست که آیا «در مرجعی این فرمول را دیده‌اید و به دنبال اثبات آن می‌گردید» در این صورت مشخصات مرجع و شماره صفحه را بنویسید و بگوئید در آنجا دیده‌اید و اکنون اثبات آن را می‌خواهید، یا اینکه «تمرین یا پرسشی بوده‌است و برایش روی چند $n$ امتحان کردید و نمودار کشیدید ولی ایده برای اثباتش نگرفتید». متن‌تان مشخص نیست.

---

@AmirHosein از راهنماییهای ارزنده تان سپاسگزارم. طبق راهنمایی تان انجام شد. باآرزوی موفقیت. زنده وپاینده باشید.

Answer 1

این همان قضیه درباره توزیع اعداد اول بشکل زیر است

$\mathop{\lim}\limits_{x\to\infty}\frac{{\pi(x)\log(x)}}{x}=1$

که در کتاب نظریه تحلیلی اعداد نوشتهٔ تام. م. آپوستُل ترجمه علی‌اکبر عالم‌زاده و علی‌اکبر رحیم‌زاده، جلد ۱، فصل ۴ این موضوع بصورت کاملی تحلیل و ثابت شده است. لینک‌های پایین هم امیدوارم بتونه کمکتون کنه.

1. https://fa.m.wikipedia.org/wiki/تابع شمارش اعداد اول
2. https://en.m.wikipedia.org/wiki/Prime-counting_function

Comments

@آزادazad علاوه بر ویرایش عنوان پرسش‌هایتان، به پاسخ‌های درست نیز واکنش نشان دهید. گاهی زیر برخی پاسخ‌هایی که دریافت می‌کنید دیدگاه می‌گذارید که فلان قسمت را نفهمیدید. ولی برای حالت برعکس هیچ عکس‌العملی نشان نمی‌دهید. اگر پاسخی درست است بر روی تیک تأیید سمت راستش کلیک کنید و اگر پاسخی مفید است بر روی سه‌گوش رو به بالای سمت راستش کلیک کنید. برای نمونه این پاسخ تنها یک امتیاز مثبت دارد که من داده‌ام. شما نه دیدگاه گذاشته‌اید که مشکل‌تان حل شده‌است یا خیر، و نه امتیاز داده‌اید یا تأیید کرده‌اید.

---

ممنونمخودم با استفاده از دو بازه ی کم دقت تر و مشتق این تابع اثبات کردم