رابطهٔ $a(b\pm c)=ab \pm ac$ را برای اعداد حقیقی به همراه جمع و ضرب معمولی شان ثابت کنید.

Question

همانطور که می‌دانید رابطۀ زیر برای تمام اعداد حقیقی برقرار است:

$$a(b\pm c)=ab \pm ac$$

اما آیا می‌توان این رابطه را اثبات کرد؟

اثبات این رابطه مدت زیادی است که ذهنم را درگیر کرده و البته خودم هم هر تلاشی که انجام دادم نتوانستم آن را اثبات کنم.

Comments

منظور شما از چه راهی است؟ در هر حال میتوانید با استفاده از اشکال هندسی مانند مستطیل و مساحت آن به نتیجه برسید

Answer 1

به نام خدا

با استفاده از اشکال هندسی مانند مستطیل به‌راحتی می‌توان این موضوع را اثبات کرد.

عرض هر دو مستطیل برابر با $a$ است، ولی طول مستطیل کوچکتر برابر با $b$ و طول مستطیل بزرگتر برابر با $c$ است.

اگر جمعاً مساحت هر دو مستطیل را با $S$ نمایش‌دهیم، با کمی دقت می‌توان فهمید که:

$$S=ab+ac$$

اما اگر هر دو مستطیل را یک مستطیل در نظر بگیریم، در این‌صورت طول برابر با $b+c$ می‌شود. پس:

$$S=a(b+c)$$

و در نهایت:

$$\left.\begin{array}{l} S=ab+ac\\ S=a(b+c) \end{array}\right\rbrace\Longrightarrow a(b+c)=ab+ac$$