دو گزاره که میتوانید به عنوان تمرین به اثباتشان فکر کنید.
گزارهٔ ۱: حلقهٔ ردههای باقیماندهای به پیمانهٔ $p^r$ که $p$ عددی اول و $r$ عددی طبیعی است تنها دو عضو خودتوان دارد.
گزارهٔ ۲: اگر $n=p_1^{\alpha_1}\cdots p_s^{\alpha_s}$ تجزیهٔ $n$ به شمارندههای اولش باشد آنگاه
$$\bar{\mathbb{Z}}_n\cong\bar{\mathbb{Z}}_{p_1^{\alpha_1}}\times\cdots\times\bar{\mathbb{Z}}_{p_s^{\alpha_s}}$$
اکنون باید برایتان ساده باشد که از دو گزارهٔ پیش نتیجه میشود که عضوهای خودتوان $\mathbb{Z}_n$ برابر با $s$-تاییهای مرتبی است که هر یک از درایهها یا ۰ یا ۱ است که در نتیجه یعنی $2^s$ عضو خودتوان دارد.
اینک بیاییم به پرسش شما بپردازیم. به فرض $n$ و $m$ دو عدد طبیعی نسبت به هم اول و بزرگتر اکید از ۱ هستند. چون ۱ نیستند، دست کم یک عدد اول برای هر یک وجود دارد که آن را میشمارد. چون نسبت به هم اول هستند پس هیچ عدد اولی هر دو را نمیشمارد. پس اگر تجزیهٔ آنها به شمارندههای اولشان را بنویسیم؛ $n=p_1^{\alpha_1}\cdots p_{s_1}^{\alpha_{s_1}}$ و $m=q_1^{\beta_1}\cdots q_{s_2}^{\beta_{s_2}}$، آنگاه
\begin{align}
\bar{\mathbb{Z}}_{mn} &\cong \bar{\mathbb{Z}}_{p_1^{\alpha_1}\cdots p_{s_1}^{\alpha_{s_1}}q_1^{\beta_1}\cdots q_{s_2}^{\beta_{s_2}}}\\
&\cong \bar{\mathbb{Z}}_{p_1^{\alpha_1}}\times\cdots\times\bar{\mathbb{Z}}_{p_{s_1}^{\alpha_{s_1}}}\times\bar{\mathbb{Z}}_{q_1^{\beta_1}}\times\cdots\times\bar{\mathbb{Z}}_{q_{s_2}^{\beta_{s_2}}}
\end{align}
پس تعداد عضوهای خودتوانتان برابر خواهد بود با
$$2^{s_1+s_2}\geq 2^{1+1}=2^2=4$$
