Question

اگر f تابعی پیوسته بر [a,b] با برد Q باشد ثابت کنید f تابع ثابت بر [a,b] است

کاملا بدیهیه که بین دو تا عدد در برد Q بیشمار عدد گنگ وجود داره ولی تا به حال اثباتش رو ندیدم ولی فکر میکنم به این مساله مربوط باشه . با این حال اگر امکانش هست روند اثبات رو برام شرح بدید

Comments

اگر تابع ثابت باشه دیگر بردش Qنیست. تناقضی در عبارت شما دیده می شه. اینطور نیست؟

---

@amir7788
خیر اینطور نیست ، خواهشن یک بار دیگه صورت سوال را با دقت بخوانید !

---

شمادقیقا   «... برد Q..» اشاره کردید نگفتید بردش زیر مجموعه Q است. اگر نوشته شما قبول کنیم بردش باید Q باشه. مشکل در نحوه بیان است منظور جنابعالی متوجه شدم

Answer 1

توابع پیوسته، همبندی را حفظ می کنند. چون $f:[a,b]\to \mathbb R$ پیوسته است و $[a, b]$ همبند، لذا $f([a, b])$ در $\mathbb R$ همبند است. اما بنابر فرض مساله $f([a, b])\subset \mathbb Q$ بنابراین باید $f([a, b])$ مجموعه ای تک عضوی باشد.

Answer 2

• برهان خلف، فرض می کنیم f تابع ثابت نباشد پس $$ \exists t, s \in Q \; and \; x, z \in [a, b] ‌‌\\ \;s. t. \; f(x) =t\;, \;f(z) =s $$
• از آنجاکه fپیوسته است پس برای هر $v$ بین t و s باید wی بین x وy وجود داشته باشه بطوریکه $$ f(w) =v$$ این تناقض است. چون بین هر دو عدد گویا عددی گنگی وجود دارد که با انتخاب v یک عدد گنگ بین s و t به تناقض مورد نظر می رسیم. پس تابع f تابع ثابت می باشد