Question

چند عدد طبیعی ۵ رقمی وجود دارد که باقیمانده تقسیم آنها بر سه عدد ۴ و ۵ و ۱۸ برابر ۳ باشد؟

• راهنمایی: باقیمانده عدد حاصل بر ۷ برابر ۳ است.

Comments

علاوه بر راهنمایی خود سوال ، راهنمایی می‌کنم که حاصل سوال برابر ۵۰۰ است.

Answer 1

اعدادی که باقیمانده آنها بر اعداد $4,5,18$ برابر $3$ است، باقیمانده آنها بر کوچکترین مضرب مشترک اعداد $4,5,18$ یعنی 180 نیز برابر $3$ است. ($m=180k+3 , k \in Z$ )

$$ 10000 \leq m \leq 99999 $$ $$ \Rightarrow 10000 \leq 180k+3 \leq 99999 $$ $$ \Rightarrow \frac{9997}{180} \leq k \leq \frac{19999}{36} $$ $$ \Rightarrow k \in A=\{56,57,...,555\} $$ $$ \Rightarrow \boxed{|A|=500} $$

Answer 2

نکتهٔ اول: اگر باقیماندهٔ عددی در تقسیم آن بر ۵، ۳ باشد، یکان آن عدد یا ۳ است یا ۸.

نکتهٔ دوم: اگر باقیماندهٔ عددی در تقسیم آن بر ۴، ۳ باشد، آن عدد فرد است.

طبق نکتهٔ اول و دوم، یکان عدد باید ۳ باشد‌.

نکتهٔ سوم: اگر باقیماندهٔ عددی در تقسیم آن بر ۱۸، ۳ باشد، آن عدد فرد است.

طبق کل نکات بالا، باید اعدادی را پیدا کنیم که اگر بر ۱۸۰ تقسیم کنیم، باقیمانده ۳ شود.

کوچک‌ترین عدد پنج رقمی با ویژگی‌های بالا، ۱۰۰۸۰ و بزرگ‌ترین آن‌ها، ۹۹۹۰۰ است.

$$89820 = 99900 - 10080$$

$$89820 ÷ 180 = 499$$

با احتساب خود ۱۰۰۸۰، جواب ۵۰۰ می‌شود.