چه زمانی دو متر هم ارز هستند؟ آیا متر اقلیدسی و متری که فاصلهٔ دو نقطه با $|y_1-x_1|+\dots+|y_n-x_n|$ داده می شود بر روی $\mathbb{R}^n$ هم ارز هستند؟

Question

چه زمانی دو متر را هم‌ارز می‌گوئیم؟ برای نمونه مجموعهٔ $\mathbb{R}^n$ را یک بار با متر اقلیدسی در نظر بگیرید و یک بار با متری که فاصلهٔ دو نقطهٔ $(x_1,\dots,x_n)$ و $(y_1,\dots,y_n)$ را $|y_1-x_1|+\dots+|y_n-x_n|$ می‌دهد، آیا این دو متر هم‌ارز هستند؟

Comments

@faez.mb عنوان پرسش نامناسب است. در مورد متن پرسش‌تان نیز لطفا دست‌کم یک بار پس از نوشتن متن، پیش از ارسال، آن را از نو بخوانید و چک کنید که آیا متن روشن است و سایرین می‌فهمند که چه می‌گوئید یا خیر، اگر پاسخ خیر است، یعنی متن نیاز به ویرایش دارد. بر روی علامت مداد پائین سمت چپ پست‌تان کلیک کنید و متن را ویرایش کنید.

---

@faez.mb به ویرایشی که بر روی پست‌تان انجام دادم نگاه کنید و به ویرایشی که کرده‌بودید (فقط یک جمله را دوباره تکرار کرده‌بودید و هیچ تغییر خاصی نکرده‌بود) مقایسه کنید. به نظرتان پرسش‌تان الآن مشخص است یا آن زمان؟ به هر حال، آیا تعریف هم‌ارز بودن متر را در کتاب یا جزوه‌تان نگاه کرده‌اید؟

Answer 1

دو متر زمانی هم ارزند که توپولوژی های حاصل از هر کدام برابر باشند. در اینجا شما کافیست نشان دهید که هر گور یاز در هر توپولوژی شامل گور بازی از توپولوژی دیگر است.

حالا اگر قرار دهید:

$x=(x_1,x_2,...x_n) , y=(y_1,y_2,...,y_n)$

و

$d(x,y)= \sqrt{(x_1-x_2)^2+9x_2-y_2)^2+...+(x_n-y_n)^2} $

و

$ \rho (x,y)= \mid x_1-y_2 \mid+ \mid x_2-y_2 \mid +...+ \mid x_n-y_n\mid $

و $ \delta = \frac{r}{ \sqrt{n} } $

آنگاه به سادگی می توان نشان داد که:

$ \frac{1}{ \sqrt{n} } B_{ \rho } (x, \delta ) \subseteq B_d(x,r) , B_{d} (x,r) \subseteq B_{ \rho } (x,r)$

که در آن $B_d(x,r)$ نشان دهنده گوی باز به مرکز $x$ و شعاع $r$ در متر $d$ است.

$ \Box $