Question

اگر $A$ماتریسی $n \times n$ باشدو $b$برداری $n \times 1$ باشدروش تکراری $SOR$برای حل دستگاه $AX=b$را توضیح دهید و با ذکر دلیل بگویید که این روش چه موقع همگراست؟

Comments

لطفا راهنمای تایپ رو کامل بخونید و تایپ  ریاضی رو دقیق انجام بدین!

Answer 1

در این روش با یک تقریب اولیه و انتخاب $\omega$ مناسب از فرمول تکراری زیر استفاده می کنیم تا اینکه به جواب دلخواه با تقریب مناسب برسیم(یعنی جواب جدید نسبت به جواب قبلی تقریبا ثابت باشد اختلافشون از $\epsilon$ که می خواهیم کوچک تر باشد) $$x_{i} ^{k} =(1-\omega) x_{i} ^{k-1}+ \frac{\omega}{ a_{ii} } ( b_{i} - \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij} x_{j} ^{k}-\sum_{j=i+1}^{n} a_{ij} x_{j} ^{k-1} )$$

اگر این روش همگرا باشد باید $\omega$ ای که از فرمولهای $\omega$ بدست می آید(با توجه به ماتریس ضرایب و شرایط مساله) در رابطه $0< \omega < 2$ صدق کند تا روش بتواند همگرا باشد.

قضیه کلی زیر را برای همگرایی روشهای تکراری داریم:

قضیه همگرایی : روش تکراری $X^{k} =H X^{k-1}$ که برای حل سیستم $AX=b$ به کار گرفته می شود علیرغم هر تقریب اولیه همگرا به مقدار واقعی جواب است اگر $\parallel H \parallel < 1$

اما برای این روش قضیه ی مشهوری استروسکی-ریچ را داریم:هرگاه $A$ یک ماتریس معین مثبت بوده و $0< \omega < 2$ آنگاه روش $SOR$ با انتخاب هر مقدار اولیه ای همگرا خواهد بود.

برگرفته از کتاب آنالیز عددی ریچارد ال بوردن