چند زوج مرتب $ (a,b) $ از اعداد صحیح و مثبت پیدا میشود که $ a b^{2} $ برابر $ 21^{22} $ باشد؟

Question

چـند زوج مــرتب $ (a,b) $ از اعــداد صـحـیـح و مـثبت پیدا میشــود که $ a b^{2} $ بـرابـر $ 21^{22} $ باشـد؟

Comments

پاسخ تشریحی المپیاد امسال رو تو تلگرام میتونی پیدا کنی.

Answer 1

$21^{22}=3^{22}.7^{22}=ab^2 \Rightarrow a,b|21^{22} \Rightarrow a=3^x.7^y,b=3^{(22-x)}.7^{(22-y)},0 \leq x,y,m,n \leq 22$

$,0 \leq 22-x,22-y \leq 22,2|(22-x),2|(22-y)$

$ \Rightarrow (x,y)=(0,0),(0,2),(0,4),...,(0,22),(2,0),(2,2),(2,4),...,(22,0),(22,2)$

$,(22,4),...,(22,22)$

پس تعداد زوجهای $(a,b)$ برابر است با $12^2$.

$ \Box $