ورودی تیزهوشان$93$ عدد ثالثیه

Question

عددی که دقیقا سه مقسوم علیه اول داشته باشد را عدد ثالثیه مینامیم مثلا $60= 2^{2} \times 3 \times 5 $ یک عدد ثالثیه است. با توجه به تعریف کدام یک از گزاره های زیر درست است.

1. ضرب هر دو عدد ثالثیه ثالثیه است.
2. اگر $a^{2} \times b^{2}$ یک عدد ثالثیه باشد آنگاه $ a \times b$ ثالثیه است.
3. اگر ضرب دو عدد ثالثیه ثالثیه باشد حتما یکی بر دیگری بخش پذیر است.
4. جمع دو عدد فرد ثالثیه نمیتواند ثالثیه باشد.

Answer 1

1. گزینه اول اشتباه است زیرا $ 2\times 3\times 5 $ و $ 3\times 5\times 11 $ ثالثیه هستند در حالیکه ضرب آنها نیست.
2. گزینه دوم درست است.
3. گزینه سوم اشتباه است مثلا $2^2\times 3\times 5 $ و $ 2\times 3^2\times 5 $ ثالثیه هستند و ضرب آنها نیز ثالثیه است در حالیکه هیچ کدام بر دیگری بخش پذیر نیست.
4. گزینه چهارم اشتباه است زیرا $ 3\times 5\times 7 $ و $ 5\times 7\times 11 $ اعداد فرد ثالثیه هستند در حالیکه مجموع آنها یعنی $ 2\times 5\times 7^2$ که ثالثیه است.

به هرحال اگه بشه گزینه دوم رو مستقیم ثابت کنیم خیلی جالبتر میشه.

Comments

جواب درسته اما برای اثبات مستقیم حالت های دیگری هم وجود داره(که ساده تر هستند) که در نظر نگرفتیشون.

---

مثل چه حالت هایی؟میشه بنویسید؟

---

مثلا یکی از اعداد $1$ و دیگری ثالثیه باشه
لزومی نداره یکی مضرب دو عدد اول و دیگری فقط از یک عدد اول تشکیل شده باشه(ممکنه عامل مشترک داشته باشند.)

---

درسته. پس من اون قسمت اثبات رو پاک میکنم.

---

کاشکی پاکش نمیکردی همون هم خوب بود فقط کسی که جواب دقیق می خواست میتونست حالتهای دیگر رو بطور مشابه بدست بیاره

---

یک سوال جدید ایجاد میکنم و اثباتشو میپرسم.http://math.irancircle.com/index.php?qa=427&qa_1=%D8%A7%DA%AF%D8%B1-%24-a-2-times-b-2%24-%D8%AB%D8%A7%D9%84%D8%AB%DB%8C%D9%87-%D8%A8%D8%A7%D8%B4%D8%AF-%D8%A2%D9%86%DA%AF%D8%A7%D9%87-%24-a-times-b%24%D8%AB%D8%A7%D9%84%D8%AB%DB%8C%D9%87-%D8%A7%D8%B3%D8%AA