مثال از حلقهٔ نامتناهی ولی با مشخصهٔ متناهی

Question

آیا حلقه‌ای نامتناهی ولی با مشخصهٔ متناهی داریم؟ تنها مثالی که از حلقه‌های با مشخصهٔ متناهی می‌دانم $\bar{\mathbb{Z}}_p$ها هستند که متناهی هستند.

Answer 1

حلقهٔ $ \mathbb Z _{p} $ که فرمودید متناهی است اما اگر $ K $ یک میدان باشد آنگاه حلقهٔ $ K[x]$ یک قلمرو صحیح است که مشخصهٔ آن برابر مشخصهٔ میدان $K $ است.

حال اگر هر میدان با مشخصهٔ $p $ مانند $ K $ را در نظر بگیریم آنگاه $ K[x]$ نامتناهی و از مشخصه $p $ خواهد بود.

$$1, x, x^{2} , x^{3} ,\dots \in K[x]$$

لذا نامتناهی است.

مثلا می‌توانیم میدان گالوا با 4 عضو را در نظر بگیریم ($ GF(4) $) که از مشخصه $2$ است (ربطی به $ \mathbb Z _{4} $ ندارد).

Answer 2

مجموعهٔ دنباله‌های $\lbrace a_n\rbrace_{n=1}^\infty$ که جمله‌هایشان عضو $\bar{\mathbb{Z}}_p$ هستند را با عمل‌های جمع و ضرب جمله‌به‌جمله در نظر بگیرید. یعنی $\lbrace a_n\rbrace+\lbrace b_n\rbrace=\lbrace a_n+b_n\rbrace$ و $\lbrace a_n\rbrace\lbrace b_n\rbrace=\lbrace a_nb_n\rbrace$. روشن است که این مجموعه به همران این دو عمل یک حلقه می‌شود (در واقع یک حلقهٔ جابجایی و یک‌دار). سرشت‌نمایش نیز همان $p$ می‌شود چون جمعِ $p$ بار یک عضوش برابر با دنبالهٔ جمعِ $p$بار تک تک جمله‌هایش می‌شود که اینها هم همگی صفر می‌شوند چون عضو $\bar{\mathbb{Z}}_p$ هستند. پس دنبالهٔ ثابت صفر که عضو همانیِ جمعیِ این حلقه است می‌شود. از طرفی یک مجموعهٔ متناهی نیست چون برای نمونه مجموعهٔ دنباله‌هایی که همهٔ عنصرهایشان صفر هستند به غیر از جملهٔ $i$ام که آن را ۱ بگذاریم، یک زیرمجموعه از این حلقه می‌شود که در تناظر دوسویی با مجموعهٔ $\mathbb{N}$ است. پس چون یک زیرمجموعهٔ نامتناهی دارد، خودش نیز نامتناهی است.

توجه کنید که این حلقه با حلقه‌ای که آقای @erfanm مثال زدند یک‌ریخت نمی‌شود. اگر یک عضو از حلقهٔ $\bar{\mathbb{Z}}_p[x]$ که یک چندجمله‌ای است را با دنبالهٔ ضریب‌هایش نمایش دهیم، آنگاه نکتهٔ نخست این است که این دنباله‌ها دنباله‌های متناهی هستند. حتی اگر برای جمله‌های بزرگتر از درجهٔ چندجمله‌ای عدد صفر را تکرار کنیم تا یک دنبالهٔ نامتناهی شود، آنگاه مشکل اینجاست که در حلقهٔ دنباله‌های نامتناهی عضوی مانند ۱ و ۰ که یک در میان تکرار شوند داریم که هرگز پس از تعداد متناهی گام یک عدد ثابت نمی‌شود. پس عنصرهایی در مجموعهٔ جدید داریم که متناظر به هیچ چندجمله‌ای نمی‌شوند. و اما نکتهٔ دوم اینکه ضرب در این دو حلقه فرق دارد و تنها جمع است که در هر دو جمله‌به‌جمله است. ضرب در حلقهٔ چندجمله‌ای‌ها جمله‌به‌جمله نیست. برای نمونه $(x+2)(x+3)$ برابر با $x+6$ نمی‌شود، برابر با $x^2+5x+6$ می‌شود.

پس شما تا اینجا دو خانواده از حلقه‌های نامتناهی ولی با سرشت‌نمای متناهی دیدید.