یک سوال در تعویض حد و جمع

Question

برای هر $n=1, 2,...$ و $$f_n = {a_1^{(n)},a_2^{(n)},...}$$ دنباله‌ای از اعداد مختلط باشد.

آنگاه اگر $a_k^{(n)}$ حقیقی باشند و برای همه‌ی k و n ها $$0\ \leq a_k^{(n)} \leq a_k^{(n+1)}$$، نشان دهید که $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{\infty} a_k^{(n)} = \sum_{k=1}^{\infty} \lim_{n \to \infty } a_k^{(n)}$.

Comments

یک جای پرسشتان کمی اذیت می‌کند. اگر برای $k$ و $n$ -ِ دلخواه $a_k^{(n)}$ حقیقی است یعنی دنباله‌هایتان حقیقی‌اند پس چه لزومی دارد که در شروع پرسش نوشته‌اید دنباله‌هایتان مختلط هستند؟ پرسشتان پیرامون دنباله‌های حقیقی می‌شود و در اینصورت برچسب «اعداد مختلط» نیز زیاده می‌شود. آیا درست می‌گویم یا چیزی را از قلم انداخته‌ام؟

---

اون چیزی که الان به نظر من میرسه اینه که این مطلب چیزی نیست جز قضیه همگرایی یکنوا monotone convergence theorem و اینکه هر سیگمایی یک انتگرال نسبت به اندازه شمارشی است.

Answer 1

قضیه همگرایی یکنوا: اگر $f_n:X\to [0,\infty]$ اندازه پذیر باشند و $$0\leq f_1\leq f_2\leq \cdots$$و $f(x)=\lim_{n\to \infty}f_n(x)$ در اینصورت$$\lim_{n\to \infty}\int f_nd\mu=\int fd\mu=\int\lim_{n\to \infty}d\mu$$

از طرفی هر سری $\sum_1^\infty a_k$ یک انتگرال نسبت به اندازه شمارشی $\mu$ روی $\mathbb N$ است. در واقع

اگر $f:\mathbb N\to [0,\infty]$ که $f(k)=a_k$ در اینصورت $\sum_1^\infty a_k=\int_{\mathbb N}fd\mu$

حال در سوال شما قرار دهید $f_n=(a_k^{(n)})_{k=1}^\infty$ و از قضیه بالا استفاده کنید.