آیا همیشه یک دستگاه خطی قابل حل است؟

Question

به فرض $A$ یک ماتریس و $x$ و $b$ دو بردار باشند. با فرض اینکه $A$ و $b$ ثابت باشند و معلوم ولی $x$ مجهول باشد، آیا همیشه دستگاهِ $Ax=b$ قابل حل است و در صورت بلی آیا می‌توانیم پاسخ را محاسبه کنیم حتی اگر دستگاهمان بزرگ باشد؟

Comments

@pop منظورتون از حل کردن چی هستش؟
آیا منظورتون همان جواب خوش‌تعریف هست؟ یعنی وجود و یکتایی جواب هست؟

---

بله ایا وقتی تعداد معادلات کمتر از تعداد مجهولات باشه جواب یکتا ست و چه جور بدست می اید؟ ممنون

Answer 1

سیستم معادلات Ax=b دارای جواب است اگر و تنها اگر رتبه ماتریس [A|b] با رتبه ماتریس A برابر باشد. یعنی بردار b را بتوان بصورت ترکیبی از ستون های ماتریس A نوشت. پس اگر چنین باشد داریم:

که در آن m تعداد معادلات(سطرهای ماتریس) و n تعداد متغیرات (ستونهای ماتریس) است.