به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
374 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط amirm20
برچسب گذاری دوباره توسط AmirHosein

قضیه :

اگر تابع $f$ در $b$ پیوسته باشد . آنگاه :

$$\lim \limits_{x\to a}f(g(x))=\lim \limits_{g(x)\to b}f(g(x))$$

حالا سوال :

تعریف مشتق رو به صورت حد زیر بیان میکنیم :

$$ \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} $$

حال متغیر رو تغییر میدهیم :

$$h=x-a \\ \lim_{x \rightarrow a} x-a =0 \\ h\to 0$$

پس اگر تابع $f$ در $0$ پیوسته باشد آنگاه میتوانیم بنویسیم که :

$$ \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} $$

ولی این دو حد رو همواره میگویند برابر است . و نمیگویند که باید تابع $f$ در $0$ پیوسته باشد. آنگاه این دو حد برابر هستند ؟

دارای دیدگاه توسط AmirHosein
@amirm20 متن قضیه را از روی چه منبعی نوشته‌اید؟ به نظرم از زبان خودتان نوشته‌اید. یکم اینکه چه دلیلی دارد زمانی که $x$ به سمت $a$ میل می‌کند، $g(x)$ به سمت $b$ میل کند؟ پس صورت قضیه‌تان ناقص است. فکر کنم منظورتان این است که $b=g(a)$. در این صورت به متن قضیه اضافه کند و گر نه بی‌معنی می‌شود. بعلاوه باید روی تابع $g$ نیز شرط بگذارید. از کجا معلوم که $b$ یک نقطهٔ منزوی از بُردِ تابع $g$ نباشد؟ یعنی حتی اگر به فرض قضیه‌تان بیفزائید که $g(a)=b$ هنوز باید شرطی بر روی $g$ بیزائید تا این چیزی که در قضیه نوشته‌اید رُخ بدهد. لطفا دوباره به منبع‌تان برگردید و صورت قضیه را تصحیح کنید. اگر هم منبع‌تان چنین چیز اشتباهی نوشته‌است، لطفا منبع‌تان را معرفی کنید، چون باید به نویسنده و ناشرش گوش‌زد کرد.
دارای دیدگاه توسط amirm20
@AmirHosein
این را در اینجا پرسیدمhttp://math.irancircle.com/9148/%D8%AA%D8%BA%DB%8C%DB%8C%D8%B1-%D9%85%D8%AA%D8%BA%DB%8C%D8%B1-%D8%AF%D8%B1-%D8%AD%D8%AF
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
@amirm20 فرض‌هایی را که آقای @fardina در آنجا برایتان اشاره کرده‌اند را به صورت قضیه‌ای که اینجا بیان کردید بیفزائید و گر نه به این شکلی که الآن نوشته‌اید اشتباه است.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein
ویرایش شده توسط AmirHosein
 
بهترین پاسخ

چرا باید $f$ در صفر پیوسته باشد؟ پیوستگی $f$ در صفر در هیچ یک از دو حدِ تعریف مشتق $f$ در نقطهٔ $x=a$ نیاز نشده‌است. در هر دو فقط پیوستگی تابع $f$ در $x=a$ نیاز است. در سمت چپی، حد $f(x)$ زمانی‌که $x$ به $a$ می‌رود استفاده می‌شود. در سمت راستی $f(a+h)$ زمانی که $h$ به سمت صفر می‌رود استفاده می‌شود.

درست است $h$ به سمت صفر می‌رود، ولی در کسر ننوشته‌ایم $f(h)$ که بعد بیائیم بگوئیم $h$ به صفر می‌رود، که مقدار تابع در همسایگی صفر را بخواهیم. یک مقدار در همسایگی صفر برای $h$ انتخاب کنید. چیزی که داریم از آن $f$ می‌گیرید یعنی $a+h$ در کجا قرار دارد؟ در همسایگی صفر؟ خیر، بلکه در همسایگی $a$ خواهدبود. برای نمونه اگر $h$ یک‌صدم شد $a+h$ می‌شود $a+0.01$. پس $f(a+h)$ را در همسایگی $x=a$ نیاز داریم نه همسایگی $x=0$.

حتی با استناد به قضیه‌ای که باید متنش را تصحیح کنید، پیوستگی $f$ را در $b=g(a)$ و پیوستگی $g$ را در $a$ نیاز داریم. در این تغییر متغیری که بحث کرده‌اید، $g(x)=a+x$ است، $a$ صفر است و $b$، $a$ است. اکنون پیوستگی $f(x)$ در $x=a$ و پیوستگی $g(x)=a+x$ در $x=0$ نیاز است. که تابع $a+x$ به طور بدیهی در $x=0$ پیوسته است. ولی توجه کنید که تابع $a+x$ یک تابع است و تابع $f(x)$ نیز یک تابع دیگر! در این مواقع باید مراقب باشید که نمادها را با هم اشتباه نکنید.

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...