تعریف مشتق و تغییر متغییر

Question

قضیه :

اگر تابع $f$ در $b$ پیوسته باشد . آنگاه :

$$\lim \limits_{x\to a}f(g(x))=\lim \limits_{g(x)\to b}f(g(x))$$

حالا سوال :

تعریف مشتق رو به صورت حد زیر بیان میکنیم :

$$ \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} $$

حال متغیر رو تغییر میدهیم :

$$h=x-a \\ \lim_{x \rightarrow a} x-a =0 \\ h\to 0$$

پس اگر تابع $f$ در $0$ پیوسته باشد آنگاه میتوانیم بنویسیم که :

$$ \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} $$

ولی این دو حد رو همواره میگویند برابر است . و نمیگویند که باید تابع $f$ در $0$ پیوسته باشد. آنگاه این دو حد برابر هستند ؟

Comments

@amirm20 متن قضیه را از روی چه منبعی نوشته‌اید؟ به نظرم از زبان خودتان نوشته‌اید. یکم اینکه چه دلیلی دارد زمانی که $x$ به سمت $a$ میل می‌کند، $g(x)$ به سمت $b$ میل کند؟ پس صورت قضیه‌تان ناقص است. فکر کنم منظورتان این است که $b=g(a)$. در این صورت به متن قضیه اضافه کند و گر نه بی‌معنی می‌شود. بعلاوه باید روی تابع $g$ نیز شرط بگذارید. از کجا معلوم که $b$ یک نقطهٔ منزوی از بُردِ تابع $g$ نباشد؟ یعنی حتی اگر به فرض قضیه‌تان بیفزائید که $g(a)=b$ هنوز باید شرطی بر روی $g$ بیزائید تا این چیزی که در قضیه نوشته‌اید رُخ بدهد. لطفا دوباره به منبع‌تان برگردید و صورت قضیه را تصحیح کنید. اگر هم منبع‌تان چنین چیز اشتباهی نوشته‌است، لطفا منبع‌تان را معرفی کنید، چون باید به نویسنده و ناشرش گوش‌زد کرد.

---

@AmirHosein
این را در اینجا پرسیدمhttp://math.irancircle.com/9148/%D8%AA%D8%BA%DB%8C%DB%8C%D8%B1-%D9%85%D8%AA%D8%BA%DB%8C%D8%B1-%D8%AF%D8%B1-%D8%AD%D8%AF

---

@amirm20 فرض‌هایی را که آقای @fardina در آنجا برایتان اشاره کرده‌اند را به صورت قضیه‌ای که اینجا بیان کردید بیفزائید و گر نه به این شکلی که الآن نوشته‌اید اشتباه است.

Answer 1

چرا باید $f$ در صفر پیوسته باشد؟ پیوستگی $f$ در صفر در هیچ یک از دو حدِ تعریف مشتق $f$ در نقطهٔ $x=a$ نیاز نشده‌است. در هر دو فقط پیوستگی تابع $f$ در $x=a$ نیاز است. در سمت چپی، حد $f(x)$ زمانی‌که $x$ به $a$ می‌رود استفاده می‌شود. در سمت راستی $f(a+h)$ زمانی که $h$ به سمت صفر می‌رود استفاده می‌شود.

درست است $h$ به سمت صفر می‌رود، ولی در کسر ننوشته‌ایم $f(h)$ که بعد بیائیم بگوئیم $h$ به صفر می‌رود، که مقدار تابع در همسایگی صفر را بخواهیم. یک مقدار در همسایگی صفر برای $h$ انتخاب کنید. چیزی که داریم از آن $f$ می‌گیرید یعنی $a+h$ در کجا قرار دارد؟ در همسایگی صفر؟ خیر، بلکه در همسایگی $a$ خواهدبود. برای نمونه اگر $h$ یک‌صدم شد $a+h$ می‌شود $a+0.01$. پس $f(a+h)$ را در همسایگی $x=a$ نیاز داریم نه همسایگی $x=0$.

حتی با استناد به قضیه‌ای که باید متنش را تصحیح کنید، پیوستگی $f$ را در $b=g(a)$ و پیوستگی $g$ را در $a$ نیاز داریم. در این تغییر متغیری که بحث کرده‌اید، $g(x)=a+x$ است، $a$ صفر است و $b$، $a$ است. اکنون پیوستگی $f(x)$ در $x=a$ و پیوستگی $g(x)=a+x$ در $x=0$ نیاز است. که تابع $a+x$ به طور بدیهی در $x=0$ پیوسته است. ولی توجه کنید که تابع $a+x$ یک تابع است و تابع $f(x)$ نیز یک تابع دیگر! در این مواقع باید مراقب باشید که نمادها را با هم اشتباه نکنید.