حاصل انتگرال$\int \sqrt{1+\cosh^2x} dx$ رابیابید.

Question

سلام حاصل انتگرال $\int \sqrt{1+\cosh^2x} dx$ رابیابید.

بنده سعی کردم از تغییر متغییر $u=1+\cosh^2x$ استفاده کنم. ولی به $\int \sqrt{u(u^2-3u+2)}du$ رسیدم و نتونستم حلش کنم.

Answer 1

با توجه به فرمول های توابع هذلولوی داریم

$$I= \int \sqrt{1+ cosh^{2}x }dx= \int \sqrt{sinh^{2}x+2}dx= \sqrt{2} \int\sqrt{ \frac{sinh^{2}x}{2} +1}dx$$

حالا از تغییر متغیر $t=ix$ استفاده میکنیم داریم

$$I=- \sqrt{2}i \int \sqrt{1- \frac{sin^2t}{2} } dt$$

انتگرال به دست اومده انتگرال بیضوی نوع دومه https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral#Incomplete_elliptic_integral_of_the_second_kind که با $E(t| \frac{1}{2})$ نشون داده میشه پس انتگرال برابر

$$I=-\sqrt{2}iE(ix| \frac{1}{2})+c$$

Comments

خیلی ممنون
آیا این انتگرال راه حلی نداره که برحسب توابع ساده بشه حلش کرد

---

فکر نکنم. البته در این مورد آقای فردینا به قضیه لیوویل ارجاع دادن
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Liouville's_theorem_(differential_algebra)